Nilpotente Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Es ist doch richtig, dass immer gilt: genau dann wenn G nilpotent ist, ist G das direkte Produkt seiner Sylowuntergruppen?
Ist dann auch jede Untergruppe und jede Quotientengruppe einer nilpotenten Gruppe nilpotent? Es müsste doch dann auch die Umkehrung stimmen?
Vielen Dank
und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
> Es ist doch richtig, dass immer gilt: genau dann wenn G
> nilpotent ist, ist G das direkte Produkt seiner
> Sylowuntergruppen?
Ja!
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Klar, da jede endliche $p$-Gruppe nilpotent ist und [mm] $K^m(G \times H)=K^m(G) \times K^m(H)$ [/mm] gilt.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Schwierig. Man zeigt hier, dass für eine echte Untergruppe $U [mm] \subsetneq [/mm] G$ gilt: $U [mm] \ne [/mm] N(U)$, wobei $N(U)$ der Normalisator von $U$ ist. (Man muss sich noch überlegen, dass daraus dann die Behauptung folgt. Liefere ich bei Interesse aber gerne nach.) Ist $U [mm] \subsetneq [/mm] G$ eine echte Untergruppe, so wählt man aus
[mm] $K^0(G) \supset K^1(G) \supset \ldots \supset K^m(G)=\{e\}$ [/mm]
ein $i$ mit $U [mm] \supset K^{i+1}(G)$, [/mm] aber $U [mm] \not\supset K^i(G)$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $[K^i(G), [/mm] U] [mm] \subset [/mm] U$,
also:
[mm] $K^i(G) \subset [/mm] N(U)$.
Daraus folgt die Behauptung.
> Ist dann auch jede Untergruppe und jede Quotientengruppe
> einer nilpotenten Gruppe nilpotent?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 24.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Leider habe ich noch nicht verstanden, wie ich beweisen soll, dass jede Untergruppe und jede Qutientengruppe einer nilpotenten Gruppe nilpotent sind. Oder folgt die Behauptung direkt aus deinem Beweis? ich habe ihn leider nicht richtig verstanden, vielleicht kannst du mir deine Erläuterung schicken?Gilt hier auch die Umkehrung?
vielen,vielen Dank
lieber Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Naja, für Untergruppen folgt es sofort aus der trivialen Beziehung
[mm] $K_n(U) \subset K_n(G)$.
[/mm]
Ist $N$ ein Normalteiler, dann kann man mit vollständiger Induktion zeigen:
[mm] $K_n(G/N) [/mm] = [mm] K_n(G)N/N$.
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung auch für Faktorgruppen.
Viele Grüße
Julius
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