Nilp. El. in Ring < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:12 Di 23.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich soll zeigen, dass ein Ring $R$ nilpotente Elemente besitzt genau dann, wenn [mm] $R_P$ [/mm] für ein Primideal $P$ nilpotente Elemente besitzt. [mm] (R_P=(R\backslash P)^{-1}R)
[/mm]
Die eine Richtung ist leicht, doch bei der anderen habe ich Probleme. Annahme: [mm] R_P [/mm] besitzt ein nilpotentes Element [mm] \frac{r}{s} [/mm] ($r [mm] \in [/mm] R, s [mm] \in R\backslash [/mm] P$). Dann will ich zeigen, dass R auch eines besitzt (vielleicht direkt schon r?).
Sei also [mm] (\frac{r}{s})^k=0. [/mm] Dann existiert ein $t [mm] \in R\backslash [/mm] P$ mit [mm] tr^k=0. [/mm] Daraus konnte ich bis jetzt nur folgern, dass $r [mm] \in [/mm] P$ sein muss. Aber ich sehe noch nicht, wie ich [mm] r^n=0 [/mm] zeigen kann für ein $n>0$. Ich muss sicher auch irgendein spezielles P wählen, aber ich habe keine Ahnung, welches ich nehmen könnte.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 24.10.2012 | | Autor: | hippias |
Ist der Ring kommutativ, so kannst Du das Element $tr$ betrachten und geeignet potenzieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, der Ring ist kommutativ. Das ärgert mich, dass ich nicht einfach mal [mm] (tr)^k [/mm] angeguckt habe. Manchmal sieht man die simpelsten Dinge nicht. Stattdessen wollte ich irgendwie damit rumargumentieren, dass r in P liegt. Vielen Dank für den Hinweis!
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