Nichtexistenz einer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Fr 08.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Zeige, dass es keine stetige Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR_{\ge0} [/mm] gibt mit: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1, [mm] \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} [/mm] = a und [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] |
Hallo,
ich hab zunächst angenommen, dass es solch eine Funktion gibt.
Dann hat f auch eine Stammfunktion, die ich mit F bezeichne.
Aus [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1 folgt: F(1)=1.
[mm] \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} [/mm] hab ich mittels partieller Integration versucht zu berechnen: [mm] \integral_{0}^{1}{xf(x) dx}= [F(x)*x]_{0}^{1} -\integral_{0}^{1}{F(x)*1 dx}= [/mm] F(1)- [mm] \integral_{0}^{1}{F(x) dx} [/mm] = 1 - [mm] \integral_{0}^{1}{F(x) dx} [/mm] = a.
Ebenso bin ich mit [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} [/mm] verfahren: [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} [/mm] = [mm] [F(x)*x^{2}]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{F(x)*2x dx}= [/mm] 1 [mm] -2*\integral_{0}^{1}{F(x)*x dx}= a^{2}.
[/mm]
Doch nun hänge ich irgendwie fest und weiß nicht mehr, wie ich weitermachen soll...? Ich hoffe irgendwer kann mir weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
sorry, ich komme leider doch nicht dazu, die Aufgabe genauer zu durchdenken.
Kleiner Tipp: Du kannst eine Stammfunktion $F$ auf [0,1] WÄHLEN mit [mm] $F(1)=1\,,$
[/mm]
nicht jede Stammfunktion [mm] $F_c$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] erfüllt das; aber
[mm] $F(t):\equiv F_0(t):=\int_0^t f(r)\,dr$
[/mm]
erfüllt [mm] $F(0)=0\,.$
[/mm]
Der Rest Deiner Überlegungen scheint mir größtenteils okay (an manchen
Stellen muss man vielleicht nochmal mit der Lupe drangehen und sollte
Integralexistenzen begründen).
Ich würde mal nach einer Abschätzung mit Cauchy-Schwarz gucken, sowas
könnte auch helfen.
Zu mehr fehlt mir aber leider gerade die Zeit...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Fr 08.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hier noch ein paar weitere Gedanken zur Aufgabe: Da f ja auf die reellen Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 abbildet und x [mm] \in [/mm] [0, 1] liegen würde, würde für ein solches f offenbar gelten: [mm] x^{2}f(x) \le [/mm] xf(x) [mm] \le [/mm] f(x) und somit auch: [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} \le \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} \le \integral_{0}^{1}{f(x) dx}, [/mm] also wäre dann [mm] a^{2} \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1 doch so richtig weiter bringt mich das noch immer nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Fr 08.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du in deiner letzten Gl für das Integral A einsetzt wie die Vors sagt, dann hast du [mm] 1-2a=a^2
[/mm]
also [mm] a^2+2a-1=0 [/mm] daraus a>1 oder a<0
aber da zwischen 0 und 1 ein stetiges, pos. f(x) überall >=x*f(x) ist muss a<1
Widerspruch
Gruß ledum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Sa 09.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart!
Entweder ich verstehe etwas falsch an deiner Idee oder diese Idee ist fehlerhaft:
> wenn du in deiner letzten Gl für das Integral A einsetzt
> wie die Vors sagt, dann hast du [mm]1-2a=a^2[/mm]
Du meinst mit der letzten Gleichung die Gleichung [mm] $1-2\int_0^1F(x)x\;dx=a^2$?
[/mm]
Warum sollte nun [mm] $\int_0^1F(x)x\;dx=a$ [/mm] gelten?
(Wir wissen zwar [mm] $\int_0^1f(x)x\;dx=a$. [/mm] Aber beachte den Unterschied zwischen $f$ und der Stammfunktion $F$!)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Mo 11.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> wenn du in deiner letzten Gl für das Integral A einsetzt
> wie die Vors sagt, dann hast du [mm]1-2a=a^2[/mm]
Wie kommst du darauf, ich sehe es nämlich leider nicht?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> > wenn du in deiner letzten Gl für das Integral A
> einsetzt
> > wie die Vors sagt, dann hast du [mm]1-2a=a^2[/mm]
>
> Wie kommst du darauf, ich sehe es nämlich leider nicht?
Leduart hat sich vertan. Siehe:
https://matheraum.de/read?i=1057978
FRED
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> wenn du in deiner letzten Gl für das Integral A einsetzt
> wie die Vors sagt, dann hast du [mm]1-2a=a^2[/mm]
ich hatte schon den gleichen Fehler gemacht.
> also [mm]a^2+2a-1=0[/mm] daraus a>1 oder a<0
Das hatte ich dann aber dennoch nicht erhalten:
[mm] $a^2+2a-1=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $a_{1,2}=-1\pm \sqrt{(-1)^2+1}=-1\pm \sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $-1-\sqrt{2} [/mm] < 0$ ist natürlich korrekt, aber $-1 [mm] +\sqrt{2} [/mm] > 1$... nicht!!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Angenommen, es gäbe eine stetige und nichtnegative Funktion $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit
$ [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1, [mm] \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} [/mm] = a$ und $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] $.
Zeige: dann hätten wir [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)(x-a)^2 dx=0}. [/mm] Nun ist
[mm] $f(x)(x-a)^2 \ge [/mm] 0$ für jedes $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Was folgt dann für f ? Und damit für [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 11.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Angenommen, es gäbe eine stetige und nichtnegative
> Funktion [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx} = 1, \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} = a[/mm]
> und [mm]\integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx} = a^{2} [/mm].
>
>
> Zeige: dann hätten wir [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)(x-a)^2 dx=0}.[/mm]
Ok, aus [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 1 folgt durch Multiplikation mit [mm] a^{2}: \integral_{0}^{1}{a^{2}f(x) dx} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm]
Aus [mm] \integral_{0}^{1}{xf(x) dx} [/mm] = a folgt durch Multiplikation mit 2a:
[mm] \integral_{0}^{1}{2axf(x) dx}=2a^{2}
[/mm]
Damit folgt [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2}f(x) dx}- \integral_{0}^{1}{2axf(x) dx}+\integral_{0}^{1}{a^{2}f(x) dx} [/mm] =0 , also [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)(x-a)^{2} dx=0}
[/mm]
> Nun ist
>
> [mm]f(x)(x-a)^2 \ge 0[/mm] für jedes [mm]x \in [0,1][/mm].
>
> Was folgt dann für f ? Und damit für
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] ?
Sowohl f(x)=0 als auch [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 [mm] \not= [/mm] 1. Rein anschaulich ist mir das klar, doch wie begründe ich es formal. Versuch: Wenn für alle x [mm] \in [/mm] [0, 1] gilt:
[mm] f(x)(x-a)^2 \ge [/mm] 0 und [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)(x-a)^{2} dx=0} [/mm] Dann muss [mm] f(x)(x-a)^{2} [/mm] = 0 sein (sonst ist die Fläche zwischen x=0 und 1 größer null). Ein Produkt wird 0, wenn mind. ein Faktor 0 ist. Da a eindeutig ist, kann (x-a) nicht für x=1 und x=0 mit x identisch sein. Also ist f(x)=0.
Ist das soweit okay?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 11.05.2015 | | Autor: | fred97 |
SATZ: Ist $g:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b] und ist [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx}=0, [/mm] so ist g(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Beweis: Annahme, es ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] mit [mm] g(x_0) [/mm] >0. Dann ex. s,t [mm] \in \IR [/mm] mit
a [mm] \le [/mm] s [mm] \le x_0 \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b, s<t und g(x) [mm] \ge g(x_0)/2 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [s,t].
Dann: [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} \ge \integral_{s}^{t}{g(x) dx} \ge [/mm] .... jetzt Du.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mo 11.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
> SATZ: Ist [mm]g:[a,b] \to \IR[/mm] stetig und [mm]\ge[/mm] 0 auf [a,b] und
> ist [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx}=0,[/mm] so ist g(x)=0 für alle x
> [mm]\in[/mm] [a,b].
>
>
> Beweis: Annahme, es ex. ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] mit [mm]g(x_0)[/mm] >0.
> Dann ex. s,t [mm]\in \IR[/mm] mit
>
> a [mm]\le[/mm] s [mm]\le x_0 \le[/mm] t [mm]\le[/mm] b, s<t und g(x) [mm]\ge g(x_0)/2[/mm] für
> alle x [mm]\in[/mm] [s,t].
>
> Dann: [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx} \ge \integral_{s}^{t}{g(x) dx} \ge[/mm]
> .... jetzt Du.
[mm] \integral_{s}^{t}{\bruch{g(x_0)}{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{g(x_0)(t-s)}{2} [/mm] > 0
Widerspruch und deswegen gilt der Satz.
Danke nochmals.
Viele Grüße
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