Nichtexistenz Grenzwert in Pkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
f: [mm] \IR^{2} [/mm] \ [mm] \{(0,0\} \to \IR, [/mm] f(x,y):= [mm] \bruch{x^{2}*y}{x^{4}+y^{2}} [/mm] in (0,0) keinen Grenzwert besitzt. |
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Guten Abend!
Ich habe Probleme, diese Aufgabe zu lösen, mit meiner Grenzwertdefinition komme ich nicht richtig weiter. Sowieso hätte ich naiverweise den Grenzwert 0 angenommen, was anscheinend falsch ist. Wie kann man so eine Aufgabe angehen?
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Hallo MarthaMatik,
ich nehme an, mit "f hat in $(0,0)$ keinen Grenzwert" meinst du, dass du zeigen sollst, dass f in $(0,0)$ nicht stetig (ergänzbar) ist...
Da ist das Folgenkriterium der Stetigkeit sehr hilfreich.
Wäre f in $(0,0)$ stetig, so müsste jede Folge [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$ [/mm] gegen $f(0,0)=a$ streben.
Mit der Festlegung $f(0,0):=a$ könnten wir dann f stetig ergänzen in $(0,0)$
Nehmen wir die einfachste aller Folgen [mm] $(x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Die geht für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $(0,0)$
wie sieht es mit [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] aus?
[mm] $f(x_n,y_n)=\frac{\frac{1}{n^2}\cdot{}\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^2}}=\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^2+1}{n^4}}=\frac{n^4}{n^3(n^2+1)}=\frac{n}{n^2+1}\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Wenn f also in $(0,0)$ stetig wäre, könnten wir f durch die Festlegung $f(0,0):=0$ stetig ergänzen und für jede beliebige andere Folge [mm] $(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)=(0,0)$ [/mm] müsste [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)=0$ [/mm] sein.
Was ist aber mit zB. der Folge [mm] $(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)$?
[/mm]
LG
schachuzipus
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