Nichtähnliche lin. Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Bin gerade bei folgender Aufgabe:
Geben Sie zwei nichtähnliche lineare Abbildungen f ,g : V [mm] \to [/mm] V an mit [mm] \chi_{f}(x) [/mm] = [mm] \chi_{g}(x) [/mm] und [mm] \mu_{f}(x) [/mm] = [mm] \mu_{g}(x).
[/mm]
Gibt es da vielleicht einen Trick oder muss man einfach solange rumprobieren, bis man zwei passende Darstellungmatrizen hat? Freue mich über jeden Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 07.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du musst zwei Matrizen finden, die das gleiche charakteristische Polynom und das gleiche Minimalpolynom, aber eine unterschiedliche Jordansche Normalform haben (und damit nicht ähnlich sind).
Das einfachste Beispiel, was mir gerade einfällt, sind die beiden Matrizen
[mm] $A=\pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$
[/mm]
und
[mm] $B=\pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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Das heißt also, falls ich schon zwei Matrizen gefunden habe, die das gleiche charakteristische Polynom und das gleiche Minimalpolynom haben, müsste ich noch die Jordansche Normalform bilden, um zu überprüfen, ob die Abbildungen wirklich nicht ähnlich sind? Ich dachte, dass man das gleich an der Darstellungsmatrix sieht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wie willst du das denn zwei beliebigen Darstellungsmatrizen sofort ansehen? Hast du Jordansche Augen? 
Nein, das geht im Allgemeinen nicht. Daher habe ich die beiden Matrizen sofort beide in der (unterschiedlichen) Jordanschen Normalform angegeben, dann sieht man sofort, dass sie nicht ähnlich sind.
Die Aufgabe ist doch gelöst, ohne dass man jetzt noch irgendetwas machen muss, oder ist dir meine Lösung nicht klar?
Liebe Grüße
Stefan
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Leuchtet mir ein, dass man zwei beliebigen Darstellungsmatrizen nicht ansehen kann, dass sie ähnlich sind... 
Ich habe die Jordansche Normalform erst gestern in der Vorlesung gehabt und bin damit noch nicht so ganz vertraut.
Deine Lösung ist mir sehr klar! Vielen Dank!
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Hallo, sitze an der gleichen Aufgabe und hab noch eine Frage:
Wie beweise ich denn, dass nicht ähnliche Matrizen unterschiedliche Jordan-Formen haben? Das Gegenteil ergibt sich ja einfach aus der Ähnlichkeit einer Matrix zu ihrer Jordanform, aber reicht das denn als Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wie? Ich verstehe gerade die Frage nicht. Zwei Matrizen seien sich nicht ähnlich. Wenn sie die gleiche Jordansche Normalform hätten, dann wären sie doch beide zur gleichen Jordanschen Normalform ähnlich und damit auch untereinander ähnlich.
Ach so, vielleicht wusstest du das nicht: Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation!
Liebe Grüße
Stefan
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