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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 245 oder 312 nicht einfach sind. |
Hallo,
ich bin bei der Aufgabe folgendermaßen vorgegangen:
Ich weiß, dass |G| = [mm] p^{k} [/mm] * m, wobei k [mm] \ge [/mm] 1, ggt(m,p) 1 ist, p Primzahl.
Dies habe ich angewandt, und für |G| = 245 = [mm] 5*7^{2}, [/mm] wobei p = 7 und m = 5.
Analog für |G| = 312 = [mm] 2^{3} [/mm] * 39.
Dann habe ich versucht, die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen zu bestimmen: [mm] n_{7} \cong [/mm] 1 mod 7 teilt 245.
D.h. folgende Zahlen kommen für [mm] n_{7} [/mm] in Frage {1,8,15,....239}, aber nur die 1 teilt 245. Stimmt das so? Das würde doch bedeuten, dass es nur eine 7-Sylow-Untergruppe gibt, die auch Normalteiler ist oder?
Wie kann ich zeigen, dass sie nicht einfach ist?
Einfach heißt doch, [mm] \forall [/mm] H [mm] \subset [/mm] G Normalteiler ist H ={e} oder H = G.
Ich muss hier doch zeigen, dass H [mm] \not= [/mm] e und H [mm] \not= [/mm] G ist oder?
Aber ich weiß leider nicht genau, wie ich das zeigen kann.
Danke für die Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Di 15.05.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anna!
> Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 245 oder 312 nicht
> einfach sind.
> ich bin bei der Aufgabe folgendermaßen vorgegangen:
> Ich weiß, dass |G| = [mm]p^{k}[/mm] * m, wobei k [mm]\ge[/mm] 1, ggt(m,p) 1
> ist, p Primzahl.
> Dies habe ich angewandt, und für |G| = 245 = [mm]5*7^{2},[/mm]
> wobei p = 7 und m = 5.
> Analog für |G| = 312 = [mm]2^{3}[/mm] * 39.
= [mm]2^{3}[/mm] * 3 * 13
> Dann habe ich versucht, die Anzahl der
> p-Sylow-Untergruppen zu bestimmen: [mm]n_{7} \cong[/mm] 1 mod 7
> teilt 245.
> D.h. folgende Zahlen kommen für [mm]n_{7}[/mm] in Frage
> {1,8,15,....239}, aber nur die 1 teilt 245. Stimmt das so?
> Das würde doch bedeuten, dass es nur eine
> 7-Sylow-Untergruppe gibt, die auch Normalteiler ist oder?
> Wie kann ich zeigen, dass sie nicht einfach ist?
Ich hatte mal wieder nicht richtig gelesen. Du sollst doch zeigen, daß sie nicht einfach ist. Aber wenn sie einen NT hat, dann ist sie nicht-einfach.
Jetzt kann man sich auch noch die 5-Sylow-Gruppe vornehmen, die es ja auch geben muß. Das scheint auch ein NT zu sein.
Dann könnte die Gruppe das direkte Produkt der beiden sein. Andernfalls induzieren sie Automorphismen aufeinander, die von [mm] \IZ_{5} [/mm] kennt man explizit, und daraus könnte man vielleicht weitere Eigenschaften herleiten ...
Im zweiten Fall ist die 13-Sylow-Gruppe wohl ein NT.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Kennst du Poincarés Argument? Du findest es ![[]](/images/popup.gif) hier auf der ersten Seite.
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Hallo statler,
> Ich hatte mal wieder nicht richtig gelesen. Du sollst doch
> zeigen, daß sie nicht einfach ist. Aber wenn sie einen NT
> hat, dann ist sie nicht-einfach.
Ich verstehe diesen Satz irgendwie gar nicht.  Ich soll zeigen, dass die Gruppen NICHT einfach sind, d.h. doch nach Definition: Es gibt ein H [mm] \subset [/mm] G Normalteiler, sodass H [mm] \not= [/mm] {e} UND H [mm] \not= [/mm] G. (Denn die Definition von "Einfach" ist: Für alle H [mm] \subset [/mm] G Normalteiler ist H = {e} ODER H =G)
> Aber wenn sie einen NT
> hat, dann ist sie nicht-einfach.
Wieso folgt das? Ich muss hier laut Definiton von "NICHT-Einfach" doch zeigen, dass es mindestens einen Normalteiler gibt, für den H [mm] \not= [/mm] {e} und H [mm] \not=G [/mm] gilt, oder?
> Jetzt kann man sich auch noch die 5-Sylow-Gruppe vornehmen,
> die es ja auch geben muß. Das scheint auch ein NT zu sein.
Wieso muss ich mir hier die 5-Sylow-Gruppe anschauen? Was bringt mir die Information, dass die 5-Sylow.Gruppe ein Normalteiler ist? Wie muss ich hier konkret vorgehen? Mir ist die Vorgehensweise unklar.
> Dann könnte die Gruppe das direkte Produkt der beiden sein.
> Andernfalls induzieren sie Automorphismen aufeinander, die
> von [mm]\IZ_{5}[/mm] kennt man explizit, und daraus könnte man
> vielleicht weitere Eigenschaften herleiten ...
>
> Im zweiten Fall ist die 13-Sylow-Gruppe wohl ein NT.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
>
> PS: Kennst du Poincarés Argument? Du findest es
> hier
> auf der ersten Seite.
Leider kenn ich das Poincare-Argument nicht, und das dürfen wir auch nicht anwenden.
Vielen Dank!
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 15.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> > Aber wenn sie einen NT
> > hat, dann ist sie nicht-einfach.
> Wieso folgt das?
Du hast doch einen NT gefunden, der weder die ganze Gruppe noch die triviale Gruppe ist.
Oder formaler:
Deine 7-Sylowgruppe H ist ein NT von G.
[mm] $H\not= \{e\}$ [/mm] und [mm] $H\not= [/mm] G$.
Somit ist nach der Definition von einfach G nicht einfach.
> Ich muss hier laut Definiton von
> "NICHT-Einfach" doch zeigen, dass es mindestens einen
> Normalteiler gibt, für den H [mm]\not=[/mm] {e} und H [mm]\not=G[/mm] gilt,
> oder?
Jupp, und das hast Du über die p-Sylowgruppe getan.
> > Jetzt kann man sich auch noch die 5-Sylow-Gruppe vornehmen,
> > die es ja auch geben muß. Das scheint auch ein NT zu sein.
Hier musst Du nicht weiter argumentieren!
> Wieso muss ich mir hier die 5-Sylow-Gruppe anschauen? Was
> bringt mir die Information, dass die 5-Sylow.Gruppe ein
> Normalteiler ist? Wie muss ich hier konkret vorgehen? Mir
> ist die Vorgehensweise unklar.
Da hast Du recht, da Du schon einen "echten" Normalteiler gefunden hast, ist der Fall schon fertig ...
> > Dann könnte die Gruppe das direkte Produkt der beiden sein.
> > Andernfalls induzieren sie Automorphismen aufeinander, die
> > von [mm]\IZ_{5}[/mm] kennt man explizit, und daraus könnte man
> > vielleicht weitere Eigenschaften herleiten ...
Deine Aufgabe ist es nicht, mögliche Auflösungen der Gruppe herzuleiten. Die Fragestellung war eindeutig simpler (es ging nur um "einfach" oder "nicht einfach").
> > Im zweiten Fall ist die 13-Sylow-Gruppe wohl ein NT.
Das kann sein ...
P.S.: Ich habe die Sachen nicht nachgerechnet. Aber die Sylow-Sätze hast Du ja drauf und Du kannst Sie auch sicher anwenden. Die Aufgabe sollte sich mit den Sylowsätzen herleiten lassen. (alles andere wäre viel zu "advanced" ...)
[Beispielsweise ist schon der Nachweis der Einfachheit von [mm] $A_5$ [/mm] alles andere als trivial ...
Auch wenn es da "schnelle" schlüssige Wege gibt ...]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 22.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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