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| Aufgabe | | Finden Sie eine monoton konvergente Folge Riemann-integrierbarer Funktionen [mm] $f_n [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] deren Grenzwert zwar beschränkt, aber nicht Riemann-integrierbar ist! |
Ich dachte da an:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1 &,x\in \IQ \\ 0 &x \in \IR\setminus \IQ \end{cases}.
[/mm]
Doch wie sieht diese Folge [mm] f_n [/mm] aus mit [mm] f_n\to [/mm] f??? f ist ja offensichtlich wunderbar beschränkt, aber nicht Riemann-integrierbar...
Oder gibt es noch ein anderes einfacheres Beispiel?
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> Finden Sie eine monoton konvergente Folge
> Riemann-integrierbarer Funktionen [mm]f_n : [0, 1] \to \IR[/mm],
> deren Grenzwert zwar beschränkt, aber nicht
> Riemann-integrierbar ist!
> Ich dachte da an:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1 &,x\in \IQ \\ 0 &x \in \IR\setminus \IQ \end{cases}.[/mm]
>
> Doch wie sieht diese Folge [mm]f_n[/mm] aus mit [mm]f_n\to[/mm] f???
Wenn Du von einer Aufzählung [mm] $\alpha:\; \IN \rightarrow [0;1]\cap \IQ$ [/mm] der im Intervall $[0;1]$ enthaltenen rationalen Zahlen ausgehst, dann könntest Du definieren
[mm]f_n(x):= \begin{cases} 1 & \text{falls es ein $k\leq n$ mit $\alpha(k)=x$ gibt}\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}[/mm]
Es ist wohl nicht nötig, eine solche Aufzählung [mm] $\alpha$ [/mm] effektiv anzugeben: es genügt zu wissen, dass es eine solche Funktion im Prinzip geben muss.
> f ist
> ja offensichtlich wunderbar beschränkt, aber nicht
> Riemann-integrierbar...
richtig.
> Oder gibt es noch ein anderes einfacheres Beispiel?
kaum.
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