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Hallo,
ich habe eine Frage zur Maßtheorie.
Es ist ja so dass die Lebesgue-messbaren Mengen Mächtigkeit [mm] 2^R [/mm] haben,
die Borel-messbaren aber nur R(R=Mächtigkeit der reellen Zahlen)
Das zeigt man ja z.B. durch die Cantormenge, die eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist (und auch borel-messbar), und daher jede Teilmenge lebesgue-messbar ist (wegen Vollständigkeit).
Bedeutet das nun dass jede Teilmenge der Cantormenge NICHT Borelmessbar ist? Oder wie erhält man eine L-mb aber nicht B-mb Menge?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:28 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe eine Frage zur Maßtheorie.
> Es ist ja so dass die Lebesgue-messbaren Mengen
> Mächtigkeit [mm]2^R[/mm] haben,
Genau.
> die Borel-messbaren aber nur R(R=Mächtigkeit der reellen
> Zahlen)
Das weiss ich nicht. Ihre Maechtigkeit ist zumindest echt kleiner.
> Das zeigt man ja z.B. durch die Cantormenge, die eine
> überabzählbare Lebesgue-Nullmenge ist (und auch
> borel-messbar), und daher jede Teilmenge lebesgue-messbar
> ist (wegen Vollständigkeit).
Damit zeigt man, dass die Maechtigkeit der Lebesgue-messbaren Mengen [mm] $2^R$ [/mm] ist.
> Bedeutet das nun dass jede Teilmenge der Cantormenge NICHT
> Borelmessbar ist? Oder wie erhält man eine L-mb aber nicht
> B-mb Menge?
Nein, das bedeutet nur, dass es Teilmengen der Cantormenge gibt, die Lebesgue-messbar (trivialerweise) aber nicht Borel-messbar sind.
Die Cantormenge selber ist z.B. Borel-messbar, da man zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ endlich viele Intervalle finden kann, mit denen man sie ueberdecken kann und deren Gesamtlaenge [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht ueberschreitet. (Dies bekommt man z.B. hin indem man den Konstruktionsprozess der Cantor-Menge an einem passenden Punkt abbricht: dann hat man die Menge durch endlich viele Intervalle abgedeckt, und die Gesamtlaenge der Intervalle wird im jeden Konstruktionsschritt echt kleiner und konvergiert gegen 0.)
Weiterhin ist auch jede Teilmenge der Cantormenge, die nur aus abzaelhbar vielen Elementen besteht, Borel-messbar.
Und das sind schonmal ziemlich viele. Aber nicht-Borel-messbare Teilmengen gibt es noch viel, viel mehr 
LG Felix
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