Neyman-Pearson-Test < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Gegeben sei ein statistisches Modell mit [mm] \cal{X} [/mm] = N, [mm] \cal{A} [/mm] = [mm] \cal{P}(\cal{X}) [/mm] und den Wkeitsmaßen [mm] P_{\theta} [/mm] = [mm] Geo(\theta) [/mm] für [mm] \theta \in \Theta:=(0,1).
[/mm]
Bestimme einen Neyman-Pearson-Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0.05 für
[mm] H_0: \theta [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, H_1: \theta [/mm] = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
Welche Entscheidung wird bei einer Beobachtung x=4 getroffen? |
Hallo liebe Mathefreunde,
irgendwie steh ich mit der Statistik ziemlich auf Kriegsfuß...
Ich hab mal zuerst den Likelihood - Quotienten gebildet:
R(x) = [mm] \begin{cases} \frac{\rho_x(\theta_1)}{\rho_x(\theta_0)} & \mbox{falls } \rho_x(\theta_0)\not= 0 \\ \infty, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] =\begin{cases} \frac{1-(1- \theta_1)^x}{1-(1-\theta_0)^x} & \mbox{falls } \rho_x(\theta_0)\not= 0 \\ \infty, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
und dann ist diese Funktion:
[mm] \psi(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}1 & \mbox{falls } R(x)>c \\ \gamma & \mbox{falls } R(x)=c \\ 0 & \mbox{falls} R(x) < c\end{cases}
[/mm]
weil R(x) streng monton steigt langt es wohl das so zu betrachten:
[mm] \psi(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}1 & \mbox{falls } x k \end{cases}
[/mm]
Könnt ihr mir helfen, wie ich jetzt weiter machen muss?
das wär echt super...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 04.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Riley,
hier muss ich etwas weiter ausholen. Zunaechst dein Modell: Es handelt
sich die geometrische Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
[mm] $f(x\mid \theta)=P(X=x)=\theta(1-\theta)^{x-1}$ [/mm] und Verteilungsfunktion
[mm] $F(x)=P(X\le x)=1-(1-\theta)^{x}$ [/mm] fuer $x=1,2,3,...$
Beim NP-Test spielt der Quotient [mm] $R(x)=f(x\mid \theta_1)/f(x\mid \theta_0)$ [/mm] eine Rolle (und nicht wie du schreibst [mm] $F(x\mid \theta_1)/F(x\mid \theta_0)$. [/mm] Wir erhalten:
[mm] \begin{matrix}
R(x)&=&\frac{\displaystyle f(x\mid \theta_1)}{\displaystyle f(x\mid \theta_0)} \\
&=&\frac{\displaystyle \theta_1(1-\theta_1)^{x-1}}{\displaystyle \theta_0(1-\theta_0)^{x-1}} \\
&=&\frac{\displaystyle (1-\theta_1)^{x}\theta_1/(1-\theta_1)}{\displaystyle (1-\theta_0)^{x}\theta_0/(1-\theta_0)} \\
\end{matrix}
[/mm]
Du lehnst H$_0$ ab, wenn $R(x)>c$ eintritt, also
[mm] $\left(\frac{\displaystyle 1-\theta_1 }{\displaystyle 1-\theta_1 }\right)^x>c \frac{\displaystyle\theta_0/(1-\theta_0)}{\displaystyle\theta_1/(1-\theta_1)}$
[/mm]
also
[mm] $x\log\frac{\displaystyle 1-\theta_1}{\displaystyle 1-\theta_0}>k'$ [/mm] bzw. $x>k''$.
(Beachte, dass der Logarithmus in unserem Fall positiv ist)
Mithin laeuft der NP-Test darauf hinaus, H$_0$ zu verwerfen, wenn $(X>x)$
eintritt fuer eine geeignet gewaehlte Zahl $x=1,2,3,...$ Das macht auch
Sinn: Grosse Werte von $X$ deuten darauf hin, dass [mm] $\theta=1/4$ [/mm] ist,
dass also 3 gruene und 1 rote Kugel in der Urne sind.
Die Zahl $x$ ist so zu waehlen, dass gilt
[mm] $P(X>x-1)>0.05=\alpha\ge P(X>x)=(1-\theta_0)^x=0.5^x$. [/mm] Man erkennt, dass
gilt $x=5$, denn $P(X>4)=0.0625>0.05>0.03125=P(X>5)$.
Mit der Entscheidungsregel Verwirf die Nullhypothese, wenn $X>5$ eintritt schoepfst du das Signifikanzniveau [mm] $\alpha=0.05$ [/mm] nicht aus. Deswegen kann man so verfahren: Tritt $X=4$ ein, so fuehrt man ein Zufallsexperiment aus, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben ist durch
$p=(0.05-0.03125)/(0.0625-0.03125)=0.6$.
Tritt ein Treffer auf, so verwirfst du die Nullhypothese. Damit ist der NP-Test vollstaendig beschrieben.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Abend Luis,
ganz vielen Dank für die Erklärungen, so langsam versteh ich etwas mehr davon 
aber ein paar kleine Nachfragen hab ich noch:
> Mit der Entscheidungsregel Verwirf die Nullhypothese, wenn
> [mm]X>5[/mm] eintritt schoepfst du das Signifikanzniveau [mm]\alpha=0.05[/mm] nicht aus
Warum schöpt man da das Signifikanzniveau nicht ganz aus? Woran seh ich das genau?
Und wen man sagt man verwirft die Nullhypothese, bedeutet das man nimmt [mm] H_1 [/mm] ?
Viele grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Di 05.06.2007 | | Autor: | luis52 |
> aber ein paar kleine Nachfragen hab ich noch:
>
> > Mit der Entscheidungsregel Verwirf die Nullhypothese, wenn
> > [mm]X>5[/mm] eintritt schoepfst du das Signifikanzniveau
> [mm]\alpha=0.05[/mm] nicht aus
>
> Warum schöpt man da das Signifikanzniveau nicht ganz aus?
> Woran seh ich das genau?
Da $P(X>5)<0.05$ und nicht $=0.05$.
> Und wen man sagt man verwirft die Nullhypothese, bedeutet
> das man nimmt [mm]H_1[/mm] ?
Ja, es gibt ja nur zwei Moeglichkeiten, und die Nullhypothese ist vermutlich falsch.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Di 05.06.2007 | | Autor: | Riley |
Morgen Luis,
ok, vielen Dank für deine Hilfe!
Lg, Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
oh danke für den link, das ist sehr cool!
dann hab ich ja noch was zum Üben :)
Viele Grüße,
Riley
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http://www.stochastik.uni-hannover.de/bachss07/blatt05loes.pdf