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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 30.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion [mm] $f(x)=x^5-x-\frac{1}{5}$ [/mm] auf eine Genauigkeit von [mm] $10^{-5}$ [/mm] |
Was das Newtonverfahren ist weiß ich soweit nur hab ich grad Probleme dass dann auch anzuwenden.
Es lautet ja: [mm] $x_T [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$
[/mm]
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
klar können wir helfen, aber dazu müssen wir erstmal verstehen, wo Dein Problem ist.
Du hast die richtige Gleichung für das numerische Approximationsverfahren von Newton aufgeschrieben.
Wo ist jetzt das Problem bei der Anwendung?
Bestimme erst einmal f'(x), und dann gehts los.
Einer der guten Startwerte ist hier z.B. x=0.
Wenn ich mir die Funktion so anschaue, würde ich von höchstens drei Nullstellen ausgehen. Da bist Du doch bald fertig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 30.05.2011 | | Autor: | bandchef |
$f'(x) = [mm] 5x^4-1$
[/mm]
Problem: Ich weiß keinen Startwert... Wie komm ich auf einen passenden Startwert? Wie läuft dann der Algorithmus bzw. Iteration durch? Wie erkenne ich wann ich der Genauigkeit angelangt bin?
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Hallo nochmal,
> [mm]f'(x) = 5x^4-1[/mm]
>
> Problem: Ich weiß keinen Startwert... Wie komm ich auf
> einen passenden Startwert? Wie läuft dann der Algorithmus
> bzw. Iteration durch? Wie erkenne ich wann ich der
> Genauigkeit angelangt bin?
Startwerte kannst Du im Prinzip einfach ausprobieren, das Newton-Verfahren konvergiert ziemlich schnell.
Hier kann man sich aber überlegen, dass f(x) genau zwei Extrema hat, nämlich ein Maximum bei [mm] -\bruch{1}{\wurzel[4]{5}} [/mm] und ein Minimum bei [mm] +\bruch{1}{\wurzel[4]{5}}. [/mm]
Wenn es tatsächlich drei Nullstellen gibt, wird Dir der Startwert x=-1 die erste, der Startwert x=0 die zweite, und x=1 die dritte liefern. Wenn es nur eine Nullstelle gibt, wird von allen drei Startwerten aus die Iteration schnell gegen den gleichen x-Wert konvergieren.
Fang doch einfach mal an.
Dann siehst Du schnell, dass die Genauigkeit sich von Mal zu Mal erhöht. Und wenn sich innerhalb der geforderten Genauigkeit keine Änderung mehr ergibt, kannst Du die Iteration abbrechen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 30.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Nach der 4. Iteration bin ich bei einem Wert von 0,000025507 angelangt... Kann das stimmen? Für den Startwert x=0.
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Hallo bandchef,
> Nach der 4. Iteration bin ich bei einem Wert von
> 0,000025507 angelangt... Kann das stimmen? Für den
> Startwert x=0.
Nein, das stimmt nicht. Nach der 1. Iteration bist Du bei x=-0,2. Nach der zweiten schon bei x=-0,20032258, und ab der dritten ändert sich bei Standardrechengenauigkeit schon nichts mehr. Eigentlich ist aber auch die 2. Iteration längst genau genug.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 30.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke jetzt komm ich auch auf das Ergebnis. Jetzt quasi nochmal das gleich für x=-1 und x=1 und dann bin ich fertig...
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> Danke jetzt komm ich auch auf das Ergebnis. Jetzt quasi
> nochmal das gleich für x=-1 und x=1 und dann bin ich
> fertig...
Ja, genau. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 30.05.2011 | | Autor: | hal9000 |
Da hast du doch alles zusammen. Funktion ableiten einsetzen, iteration berechnen fertig ...
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