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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 23.06.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Die Gleichung
[mm] e^{-\bruch{1}{x^{2}}}-0,7=0
[/mm]
besitzt zwei reelle Lösungen, die sich nur um das Vorzeichen unterscheiden. Berechnen Sie eine Näherung für die positive Lösung mit Hilfe des Newton-Verfahrens. Des weiteren gilt:
a) Wählen Sie für das Newton-Verfahren den Startwert 1
b) Geben sie die Newtonsche Iterationsvorschrift an
c) In der Iterationsvorschrift taucht normalerweise ein Bruch auf. Durch Division der einzelnen Summanden des Zählers durch den Nenner kann man die Iterationsvorschrift schließlich auf die Form
[mm] x_{n+1}=((ae^{\bruch{1}{x_{n}^2}}-b)x_{n}^{2}+1)*x_{n}
[/mm]
bringen mit gewissen Konstanten a und b. Zeigen sie dies in nachvollziehbarer Weise! Bei Ihrer Iterationsvorschrift sollen a und b natürlich in Form konkreter Zahlenwerte auftreten! Diese Form eignet sich übrigens auch recht gut für die Durchführung des Verfahrens mit einem Taschenrechner.
d) Notieren sie die Iterationswerte [mm] x_{n} [/mm] mit der vollen Stellenzahl Ihres Taschenrechners. Damit wird ihre Lösung besser nachvollziehbar.
e) Geben Sie eine Lösung an, deren erste 3 Nachkommastellen offensichtlich exakt sind. Beobachten Sie dazu einfach, wie sich die Nachkommastellen von Iterationswert zu Iterationswert entwickeln, eine Fehlerabschätzung ist hier nicht erforderlich. |
Hallo,
brauche Hilfe bei Aufgabenteil c)! Der Rest ist ok.
Meine Iterationsvorschrift ist:
[mm] x_{n}=x_{n-1}-\bruch{f_{(x_{n}-1)}}{f'_{(x_{n}-1)}}
[/mm]
Bei dem Umformen hab ich Probleme Und warum steht in der Aufgabenstellung unter c) [mm] x_{n+1}=... [/mm] und nicht [mm] x_{n}=....??? [/mm] Hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke!!!
MfG
Stefan
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Hallo Stefan,
warum steht in der
> Aufgabenstellung unter c) [mm]x_{n+1}=...[/mm] und nicht
> [mm]x_{n}=....???[/mm]
Ich denke, es ist im Grunde egal wie hier die Indizierung ist. Hauptsache der linke Term der Formel (hier also [mm]x_{n+1}[/mm]) hat einen um 1 größeren Index als der rechte Term.
> c) In der Iterationsvorschrift taucht normalerweise ein
> Bruch auf. Durch Division der einzelnen Summanden des
> Zählers durch den Nenner kann man die Iterationsvorschrift
> schließlich auf die Form
> [mm]x_{n+1}=((ae^{\bruch{1}{x_{n}^2}}-b)x_{n}^{2}+1)*x_{n}[/mm]
> bringen mit gewissen Konstanten a und b. Zeigen sie dies
> in nachvollziehbarer Weise! Bei Ihrer Iterationsvorschrift
> sollen a und b natürlich in Form konkreter Zahlenwerte
> auftreten! Diese Form eignet sich übrigens auch recht gut
> für die Durchführung des Verfahrens mit einem
> Taschenrechner.
> Bei dem Umformen hab ich Probleme
Die Formel hast du ja schon hingeschrieben. Leiten wir also erstmal ab:
[mm]f'(x) = 2x^{-3}e^{-1/x^2}[/mm] (Kettenregel)
Jetzt in die Formel einsetzen und umformen:
[mm]x_{n+1} = x_n - \frac{e^{-x_n^{-2}}-0.7}{2x_n^{-3}e^{-x_n^{-2}}}[/mm]
[mm]= \frac{x_n\cdot{}2x_n^{-3}e^{-x_n^{-2}}-e^{-x_n^{-2}}+0.7}{2x_n^{-3}e^{-x_n^{-2}}}[/mm]
[mm]= \frac{\left(2x_n^{-2}-1\right)e^{-x_n^{-2}}+0.7}{2x_n^{-3}e^{-x_n^{-2}}}[/mm]
Jetzt bedenke noch, daß [mm]\tfrac{1}{2x_n^{-3}e^{-x_n^{-2}}}=\tfrac{1}{2}x_n^3e^{x_n^{-2}}[/mm].
Kommst du damit erstmal weiter?
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Sa 23.06.2007 | | Autor: | polyurie |
ok danke vielmals!!! denke ich komm damit klar. Ich probiers gleich mal aus.
Grüße Stefan
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