Newtonsche Verfahren < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 17.02.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
ich hänge beim finden von nullstellen für die Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^4-x^2-x
[/mm]
habe ersteinmal ausgeklammert
x( [mm] \bruch{1}{4}x^3-x-1) [/mm] =0
x1=0
aber wie bekomme ich die anderen raus...?
irgend wie habe ich von einem Newtonsche Verfahren gehört mit dem man nullstellen außer zu raten errechnen kann !? Kann mir das jemand erleutern wie genau dies funktionieren soll ?
Danke im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 17.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Magnia,
wenn Ihr in der Schule das Newton-Verfahren noch nicht durchgenommen habt, dann ist die Aufgabe sicher auch nicht so gemeint, dass Du sie damit lösen sollst! Zudem verwendet man das Newton-Verfahren eben dann, wenn man die Nullstellen nicht genau, sondern nur näherungsweise berechnen kann. Solltest Du also im Unterricht ein Näherungsverfahren kennengelernt haben (z.B. Intervallhalbierungsverfahren, Regula falsi, ...),
dann verwende dieses!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 17.02.2005 | | Autor: | Magnia |
wir haben noch nichts davon durchgenommen es war nur ein tipp es mit dem Newtonsche Verfahren zu lösen, der ganz beiläufig erwähnt wurde...
doch wie funktioniert dies?
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Hallo,
also erstmal würde ich immer probieren eine Nullstelle zu raten,
[mm] $x^3 [/mm] - 4x -4 = 0$
wobei die geratenen Nullstellen (meist oder immer - weiß ich auch nicht) ein Teiler der letzten Zahl (4) sind.
Also
1,2,4
[mm] $1^3 [/mm] - 4*1-4 = 1-4-4=-7$
[mm] $2^3-4*2-4 [/mm] = -8-8-4 =-4$
[mm] $4^3-4*4-4 [/mm] = 64-16-4 = 44$
nun haben wir keine gefunden, man kann es also mit einem Verfahren für
die Näherungslösung von einer Nullstelle versuchen.
Das Newton Verfahren basiert darauf, dass man
1.) eine Stelle nimmt (beim ersten mal eine Näherung für die
Nullstelle, später der Wert, der bei 3 rausgekommen ist) und dann
2.) dort eine Tangente anlegt (Gerade, die
die Steigung an der Stelle hat) und
3.) guckt, wo die Tangente die x-Achse
schneidet. Die Stelle nimmt man und fängt bei 1) wieder an
so sieht der erste Durchgang aus:
newton
Man hat also eine Rekursion (man wendet ein Ergebnis immer wieder
an), die folgendermaßen lautet:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
Noch Fragen dazu? Dann weiterfragen :o)
Gruß
marthasmith
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 17.02.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
auf diese formel bin ich auch schon gestoßen doch wie ist sie zu verstehen ?
bzw. wie ist das [mm] x_{n} [/mm] zu verstehen ?
wärst du so nett den ersten durchlauf mir einmal zu schreiben ?
das verfahren an sich habe ich mitlrerweile verstanden wieso und warum
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Hallo Magnia,
nehmen wir einfach:
wir brauchen:
$f(x) = [mm] x^3-4*x-4$
[/mm]
daraus kann man die Ableitung berechnen:
$f'(x) = [mm] 3x^2-4$
[/mm]
Dann kann man einfach starten:
[mm] $x_1 [/mm] = 2, [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] 2^3-4*2-4=-4, f'(x_1) [/mm] = [mm] 3*2^2-4 [/mm] = 8$
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] \bruch{f(x_1)}{f'(x_1)}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = 2 - [mm] (\bruch{-4}{8}) [/mm] = 2.5$
und nun geht es wieder von vorne los.
so sieht f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 4*x - 4$ aus:
funktion
gruß
marthasmit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 17.02.2005 | | Autor: | Magnia |
oh man da hätte ich auch selber drauf kommen müssen *schäm
habe bis jetzt damit 2 nullstellen gefunden...
nach meiner zeichnung existieren auch nur 2
doch es ist doch eine mit einem exponenten ^4 wieso hat die nur 2 ?
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Hallo Magnia,
es kann durchaus sein, dass die Funktion nur zwei Nullstellen hat.
Einfach ist das am Beispiel $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] erklären.
Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 0, die ist aber zweifach,
denn aus :
[mm] $x^2 [/mm] = 0$
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] +\wurzel{0}$=0 [/mm] und
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{0}$=0
[/mm]
und sowas kann auch durchaus bei Funktionen mit [mm] x^4 [/mm] vorkommen.
Gruß
marthasmith
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Magnia |
habe doch nochmal eine frage bezüglich der nullstellen :
Gibt es denn eine Möglichkeit außer die Zeichnerische bzw. über das Verhallten der Funktion und deren HochPunkte bzw. Tiefpunkte
zu erkennen wie viele Nullstellen eine Funktion hat ?
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Hallo Magnia,
ja gibt es.
eine Nullstelle ist einfach, wenn die erste Ableitung [mm] \not= [/mm] null ist.
Also:
$f(x) = [mm] x^2$
[/mm]
Nullstelle bei x = 0:
$f'(x) = 2*x , f'(0) = 0 --> zweifache Nullstelle$
mehr Nullstellen hat die Funktion ja nicht.
$f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1$
Nullstelle bei x = 1, x= -1
$f'(x) = 2*x, f'(1) = 2 --> einfache Nullstelle, f'(-1) = -2 -->einfache Nullstelle$
Gruß
marthasmith
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Magnia |
ich meine ob man rausbekommen kann wieviele nullstellen eine funktion hat.
du beweist ja, dass es eine ist... oder sehe ich das falsch...
bezogen auf die aufgabe :
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^4-x^2-x
[/mm]
f`(x)= [mm] x^3-2x-1
[/mm]
wie kann ich daran erkennen wieviele nullstellen es gibt OHNE sie vorher zu kennen...
so meine ich das.
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Hallo Mangia,
> ich meine ob man rausbekommen kann wieviele nullstellen
> eine funktion hat.
> du beweist ja, dass es eine ist... oder sehe ich das
> falsch...
>
> bezogen auf die aufgabe :
> [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^4-x^2-x
[/mm]
>
> f'(x)= [mm]x^3-2x-1
[/mm]
>
> wie kann ich daran erkennen wieviele nullstellen es gibt
> OHNE sie vorher zu kennen...
> so meine ich das.
>
Diese Regel gibt es in etwa:
1. eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstellen wie der Grad der Funktion:
Denn für jede Nullstelle kann man ja eine Klammer [mm] $(x-x_N)$ [/mm] setzen,
dann ergibt sich $f(x) = [mm] (x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)$ [/mm] eine ganzrat. Funktion 3. Grades.
2. jede ganzrat. Funktion mit ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.
Mehr fällt mir im Moment nicht ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Magnia |
würde in diesem Falle aber leider nicht passren :(
noch jemand eine idee ?
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Hi, Magnia,
also: Mit Hilfe der ersten Ableitung kannst Du die Extrempunkte berechnen.
Die x-Koordinaten sind: [mm] x_{1}=-1; x_{2;3} =0,5*(1\pm \wurzel{5}).
[/mm]
Bei [mm] x=0,5(1-\wurzel{5}) [/mm] liegt ein Tiefpunkt, dessen y-Koordinate positiv ist, bei x=-1 liegt ein Hochpunkt (der sowieso über der x-Achse liegt). Zwischen diesen beiden Extrempunkten liegt also keine Nullstelle!
Dann geht der Graph bei x=0 durch die x-Achse (1.Nullstelle),
hat bei x= [mm] 0,5(1+\wurzel{5}) [/mm] einen weiteren Tiefpunkt, diesmal mit negativer
y-Koordinate und geht zwischen 2 und 3 nochmals durch die x-Achse
(2. Nullstelle).
Weitere Nullstellen kann es auf Grund der Lage der Extrempunkte demnach nicht geben.
Heißt: Mit Hilfe der Lage der Extrempunkte kann man sehr wohl auf die Anzahl der Nullstellen schließen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Magnia |
ja das is mir alles klar das habe ich auch alles erkannt doch ich schrieb ja oben :
Gibt es denn eine Möglichkeit außer die Zeichnerische bzw. über das Verhallten der Funktion und deren HochPunkte bzw. Tiefpunkte
zu erkennen wie viele Nullstellen eine Funktion hat ?
also wenn ich auf die funktion gucke und *sack sagen kann, dass sie 3 oder 2 nullstellen hat ( bzw. mit ein paar rechenschritten(außer die grobe sache mit den exponenten / zeichnerisch oder mit den tps oder hps)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Fr 18.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Magnia
Die Antwort ist leider nein! Das Beste was man weiß ist die Minimalzahl der Nullstellen, sie ist 0 für gerade Polynome (solche,bei denen der höchste Exponent gerade ist) und 1 für ungerade Polynome. Wenn man bei ungeraden 2 Nullstellen hat gibt es auch eine dritte, Ein gerades Polynom hat immer eine gerade Anzahl von Nullstellen, ein ungerades eine ungerade Anzahl. Dabei zählen die doppelten Nullstellen (gleichzeitig noch Nullstellen der 1. Ableitung) doppelt.
(Wenn du die Komplexen Zahlen kennenlernst, haben Polynome nTen Grades auch n Nullstellen! Aber in den meisten Schulen lernt man die nicht kennen)
Du wirst von der Antwort enttäuscht sein. Aber wenn du dir den Graph einer Funktion 3. Grades etwa ansiehst, der 3 Nullstellen hat und du verschiebst die Funktion ein Stück nach oben oder unten indem du eine pos. oder neg. Zahl zu f(x) addierst, siehst du, dass du soweit schieben kannst, dass nur eine Nullstelle bleibt.
Gruss leduart
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Hallo Magnia,
so sieht: [Dateianhang nicht öffentlich]
gruß
marthasmith
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Do 17.02.2005 | | Autor: | Magnia |
vielen dank für deine Hilfe ich glaube ich habe es kapiert :)
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