Newtonsche Gravitation < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 05.05.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Das Potenzial der Gravitation ist [mm] V(|\vec{r}|)= -\gamma *\bruch{m*M}{|\vec{r}|}.
[/mm]
a)
Zeigen Sie, das der Drehimpuls für das Gravitationspotential eine Erhaltungsgröße ist.
b)
Führen Sie die Lagrange-Funktion in Zylinderkoordinaten [mm] (r,\Phi,z) [/mm] ein.
Hinweis: Nutzen Sie das, wenn der Drehimpuls erhalten ist, ist die Bahnkurve eines Massenpunktes eine ebene Kurve.
c) Berechnen Sie [mm] \bruch{\partial L}{\partial r} [/mm] und [mm] \bruch{\partial L}{\partial \Phi}
[/mm]
d)
Interpretieren Sie die Ausdrücke aus c) und formolieren Sie damit die Lagrange'schen Gleichungen 2. art für r und [mm] \Phi
[/mm]
Hinweis:
Nutzen Sie [mm] \vec{(L)_{z}}= m*\rho^{2}*\Phi [/mm] und [mm] \vec{L}=l*\vec{e_{z}} [/mm] |
Hey ho.
Die Aufgabe a) hab ich schon gelöst, das war nicht so schwer. ;) Bei der b) hab ich so meine Probleme!
Was ich bis her habe:
Also erstmal ist ja die Gravitationskraft eine konservative Erstmal die Zylinderkoordinaten:
[mm] \vec{r}= \vektor{\rho*cos\Phi \\ \rho*sin\Phi \\ z)}
[/mm]
Da die Gravitationskraft eine konservative Kraft ist kann ich das nutzen mit den Lagrange-Funktionen. Es gilt:
L=T-V= [mm] -\bruch{1}{2}* \gamma *\bruch{m*M}{|\vec{r}|} [/mm] + [mm] \gamma *\bruch{m*M}{|\vec{r}|}= \bruch{1}{2}* \gamma *\bruch{m*M}{|\vec{r}|}
[/mm]
Das Ganze eingesetzt die Differenzialgleichung:
Speziell für Konservative Kräfte:
[mm] \bruch{d}{dt} *\bruch{\partial L}{\partial q'_{j}}-\bruch{\partial L}{\partial q_{j}}=0
[/mm]
[mm] q_{j} [/mm] sind ja jeweils die generalesierten Koordinaten und j läuft von 1 bis s, wobei s die Anzahl der Freiheitsgerade ist. Durch den Hinweis weiß ich ja das es nur 2 Freiheitsgerade sein können. Mein Problem ist jetzt das Lösen dieser Differenzialgleichung. Ich würd für [mm] q_{1} [/mm] einfach r*cos [mm] \Phi [/mm] einsetzen und für q'_{1} weiß ich nicht was ich da einsetzen soll. Aber ich weiß denn auc nicht wie man denn [mm] \bruch{\partial L}{\partial q_{1}} [/mm] ausrechnen soll?
Also es hört sich auch alles nicht ganz so richtig an was ich hier mache, aber bin ich denn auf den richtigen Weg? Und wenn nicht, wie denn dann?
Danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Di 05.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest [mm] T=m/2v^2 =m/(2r^*)^2 [/mm] benutzen.
was du da mit kons. Kraft schreibst gilt doch nicht bei jedem v?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 05.05.2009 | | Autor: | mb588 |
Das ist ja denn die kinetsiche Energie und soll ich da denn die generalesierten Koordinaten einsetzen und [mm] r^{2} [/mm] ausrechnen. Aber denn bleibt ja immer noch das Problem mit dem ausrechnen oder ergibt sich das denn?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 05.05.2009 | | Autor: | mb588 |
Also ich hab mir jetzt einfach mal L ausgerechnet!
[mm] L=T-V=\bruch{1}{2}*m*\vec{r'}^{2} [/mm] - [mm] \gamma *\bruch{M*m}{r}
[/mm]
mit den Zylinderkoordinaten ergibt sich
L= [mm] \bruch{1}{2}*m*(\rho'^{2}+\rho^{2}*\Phi'^{2})+\gamma *\bruch{m*M}{\rho}. [/mm] Wenn ich mich nicht verrechnet habe! Wäre das denn schon die Lösung zur Aufgabenteil b)?
Mit [mm] r',\Phi',... [/mm] mein ich erste Ableitung nach der Zeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 05.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
L ist wohl richtig, in der Aufgabe b) sind die Ableitungen gesucht.
Gruss leduart
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