Newton mit Zwangsbedingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 15.12.2011 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben:
Ein Teilchen rutscht reibungsfrei auf der folgenden Funktion:
[mm]z \left(x\left(t\right)\right) = x^4 - 2x^2[/mm]
Masse: $m$
Bestimme die Bewegungsgleichungen für $x$ und $z$! Finde daraus eine Bewegungsgleichung für [mm]x \left(t\right)[/mm] die keine Zwangskraft mehr enthalten darf. |
Hallo
'mal wieder 'ne Frage zur analytischen Mechanik. Speziell Newton mit Zwangsbedingung, Zwangskraft eliminieren.
Die Ableitungen sind mit gegebenem Ortsvektor:
[mm]{\vec r} = \begin{pmatrix} x \\ x^4 - 2x^2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]{\vec {\dot r}} = \begin{pmatrix} \dot x \\ 4x^3\,\dot x - 4x\,\dot x \end{pmatrix}[/mm]
[mm]{\vec {\ddot r}} = \begin{pmatrix} \ddot x \\ 12x^2\,\dot x\,\dot x + 4x^3\,\ddot x - 4\dot x\,\dot x -\,4x\,\ddot x \end{pmatrix}[/mm]
Die Newton'schen Bewegungsgleichungen als Lösungsansatz mit Zwangskräften:
[mm] I.\quad[/mm] [mm]Z_x\,{\vec e}_x = m\,\ddot x\,{\vec e}_x[/mm]
[mm] II.\quad[/mm] [mm]Z_z\,{\vec e}_z = m\,\ddot z\,{\vec e}_x - m\,g\,{\vec e}_x[/mm]
Wenn ich mich richtig erinnere, gilt die Beziehung:
[mm]\bruch{Z_z}{Z_x} = - \cot\,\alpha = \bruch{1}{z'\leftx\left(x\right)\right)}[/mm]
mit
[mm]z'\left(x\right) = \bruch{\partial z}{\partial x}[/mm]
beziehungsweise
[mm]\bruch{Z_z}{Z_x} = \bruch{1}{z'\leftx\left(x\right)\right)} \gdw Z_z = \bruch{Z_x}{z'\leftx\left(x\right)\right)} [/mm]
Nun sind also noch zwei Unbekannte (Komponente der Zwangskraft in z-Richtung und $x$ selbst) von insgesamt vier Unbekannten übrig. Ich setzte in die Gleichungen $I$ und $II$ ein
[mm]12mx^2\,\dot x\,\dot x + 4mx^3\,\ddot x - 4m\dot x\,\dot x -\,4mx\,\ddot x - m\,g = \bruch{m\,\ddot x}{4x^3-4x}[/mm]
Stimmt die letzte Gleichung (dies ist natürlich nicht die entgültige Bewegungsgleichung, da müsste ja noch ausmultipliziert werden usw. mir geht's nur um die Richtigkeit!
Für Hilfe bin ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 16.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben:
> Ein Teilchen rutscht reibungsfrei auf der folgenden
> Funktion:
> [mm]z \left(x\left(t\right)\right) = x^4 - 2x^2[/mm]
>
> Masse: [mm]m[/mm]
>
> Bestimme die Bewegungsgleichungen für [mm]x[/mm] und [mm]z[/mm]! Finde
> daraus eine Bewegungsgleichung für [mm]x \left(t\right)[/mm] die
> keine Zwangskraft mehr enthalten darf.
>
>
>
>
> Hallo
>
> 'mal wieder 'ne Frage zur analytischen Mechanik. Speziell
> Newton mit Zwangsbedingung, Zwangskraft eliminieren.
> Die Ableitungen sind mit gegebenem Ortsvektor:
>
> [mm]{\vec r} = \begin{pmatrix} x \\ x^4 - 2x^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]{\vec {\dot r}} = \begin{pmatrix} \dot x \\ 4x^3\,\dot x - 4x\,\dot x \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]{\vec {\ddot r}} = \begin{pmatrix} \ddot x \\ 12x^2\,\dot x\,\dot x + 4x^3\,\ddot x - 4\dot x\,\dot x -\,4x\,\ddot x \end{pmatrix}[/mm]
Ich weiss nicht, was du damit sagen willst. Damit beschreibst du die Kurve, auf die der Massenpunkt gezwungen wird, aber wieso?
> Die Newton'schen Bewegungsgleichungen als Lösungsansatz
> mit Zwangskräften:
>
> I. [mm]Z_x\,{\vec e}_x = m\,\ddot x\,{\vec e}_x[/mm]
> II. [mm]Z_z\,{\vec e}_z = m\,\ddot z\,{\vec e}_x - m\,g\,{\vec e}_x[/mm]
Nein, [mm]Z_z\,{\vec e}_z - m\,g\,{\vec e}_{\red{z}}= m\,\ddot z\,{\vec e}_{\red{z}} [/mm] .
Masse mal Beschleunigung ist die Summe aus eingeprägter Kraft und Zwangskraft.
Oder auch
I. [mm] $Z_x [/mm] = m [mm] \ddot{x} [/mm] $ ,
II, [mm] $Z_z [/mm] -mg = [mm] \ddot{z} [/mm] $ .
Es fehlt noch III. [mm] z - x^4+2x^2 = 0 [/mm] .
Damit hast du drei Gleichungen mit den vier Unbekannten $x(t)$, $z(t)$, [mm] $Z_x(t)$, $Z_z(t)$.
[/mm]
> Wenn ich mich richtig erinnere, gilt die Beziehung:
>
> [mm]\bruch{Z_z}{Z_x} = - \cot\,\alpha = \bruch{1}{z'\leftx\left(x\right)\right)}[/mm]
Wieso das denn? Das ist doch keine schiefe Ebene.
Die Zwangskraft darf nur senkrecht zu der durch die Zwangsbedingungen gegebenen (Hyper-)Fläche wirken. In unseren Fall ist es nur eine Zwangsbedingung
[mm] f(x,z) = 0 [/mm] mit [mm] f(x,z) = z-x^4+2x^2 [/mm] ,
daher ist die Zwangskraft proportional zum Gradienten der Funktion, also
[mm] \vec{Z} = \lambda \nabla f [/mm]
oder
[mm] Z_x = \lambda *(-4x^3+4x) [/mm] , [mm] Z_z = \lambda * 1[/mm] .
Wenn du das in I und II. einsetzt hast du nur noch drei Unbekannte [mm] $x,z,\lambda$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 17.12.2011 | | Autor: | murmel |
Danke für deine Antwort,
aber
> > [mm]{\vec r} = \begin{pmatrix} x \\ x^4 - 2x^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]{\vec {\dot r}} = \begin{pmatrix} \dot x \\ 4x^3\,\dot x - 4x\,\dot x \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]{\vec {\ddot r}} = \begin{pmatrix} \ddot x \\ 12x^2\,\dot x\,\dot x + 4x^3\,\ddot x - 4\dot x\,\dot x -\,4x\,\ddot x \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich weiss nicht, was du damit sagen willst. Damit
> beschreibst du die Kurve, auf die der Massenpunkt gezwungen
> wird, aber wieso?
Mit der zweiten Ableitung des Ortsvektors habe ich die Beschleunigung gegeben, mit dessen Hilfe ich die benötigten zweiten Ableitungen für [mm] $x\left(t\right)$ [/mm] und [mm] $z\left(x\left(t\right)\right)$ [/mm] gegeben habe.
Nach dem zweiten Newton-Axiom ist doch die Summe aller auf einen Massepunkt einwirkenden Kräfte und Zwangskräfte Ursache einer Beschleunigung/ Impulsänderung(der Ortsvektor des Teilchens entlang der Schiene/ Kurve!).
> Masse mal Beschleunigung ist die Summe aus eingeprägter
> Kraft und Zwangskraft.
>
Ich habe die Kräfte, die ja Vektoren sind in ihre Komponenten zerlegt und für jede Komponente entsprechend die Bewegungsgleichung (BwG) aufgestellt. In x-Richtung kann lediglich die x-Komponente der Zwangskraft wirken, da der Gewichtskraftvektor (als Zeilenvektor) [mm] $\left(0,0,-mg\right)$ [/mm] UND die z-Komponente der Zwangskraft ausschließlich in z-Richtung wirken.
> Oder auch
>
> I. [mm]Z_x = m \ddot{x}[/mm] ,
> II, [mm]Z_z -mg = \ddot{z}[/mm] .
>
> Es fehlt noch III. [mm]z - x^4+2x^2 = 0[/mm] .
>
Seltsam, $z$ habe ich doch gegeben und nach $x$ löse ich auf, also habe ich doch nur zwei Unbekannte, nämlich die Komponenten des Zwangskraftvektors. Ich verstehe also nicht warum ich deinen letzten Schritt für III. einbeziehen soll.
> > Wenn ich mich richtig erinnere, gilt die Beziehung:
> >
> > [mm]\bruch{Z_z}{Z_x} = - \cot\,\alpha = \bruch{1}{z'\leftx\left(x\right)\right)}[/mm]
>
> Wieso das denn? Das ist doch keine schiefe Ebene.
Nein, denn die Dozentin hat diese Beziehung ebenfalls auf die Parabel angewendet -also nicht nur für die schiefe Ebene. Außerdem können sich doch die Komponenten von [mm] $\vec [/mm] Z$ entsprechend ändern, jedoch so, dass der Betrag des Vektors für [mm] $\vec [/mm] Z$ konstant bleibt.
>
> Die Zwangskraft darf nur senkrecht zu der durch die
> Zwangsbedingungen gegebenen (Hyper-)Fläche wirken. In
> unseren Fall ist es nur eine Zwangsbedingung
>
> [mm]f(x,z) = 0[/mm] mit [mm]f(x,z) = z-x^4+2x^2[/mm] ,
>
> daher ist die Zwangskraft proportional zum Gradienten der
> Funktion, also
>
> [mm]\vec{Z} = \lambda \nabla f[/mm]
>
> oder
>
> [mm]Z_x = \lambda *(-4x^3+4x)[/mm] , [mm]Z_z = \lambda * 1[/mm] .
>
Das verstehe ich gar nicht! Denn in der Vorlesung und in meinen Unterlagen und im Skript kann ich den von dir zugrunde gelegten Ansatz (Da fehlt das nicht vermittelte Wissen) nicht finden, geschweige denn nachvollziehen. Und von einem [mm] $\lambda$ [/mm] ist gar nicht die Rede.
Dennoch vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Antwort,
> aber
>
>
> > > [mm]{\vec r} = \begin{pmatrix} x \\ x^4 - 2x^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > [mm]{\vec {\dot r}} = \begin{pmatrix} \dot x \\ 4x^3\,\dot x - 4x\,\dot x \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]{\vec {\ddot r}} = \begin{pmatrix} \ddot x \\ 12x^2\,\dot x\,\dot x + 4x^3\,\ddot x - 4\dot x\,\dot x -\,4x\,\ddot x \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Ich weiss nicht, was du damit sagen willst. Damit
> > beschreibst du die Kurve, auf die der Massenpunkt gezwungen
> > wird, aber wieso?
>
> Mit der zweiten Ableitung des Ortsvektors habe ich die
> Beschleunigung gegeben, mit dessen Hilfe ich die
> benötigten zweiten Ableitungen für [mm]x\left(t\right)[/mm] und
> [mm]z\left(x\left(t\right)\right)[/mm] gegeben habe.
> Nach dem zweiten Newton-Axiom ist doch die Summe aller auf
> einen Massepunkt einwirkenden Kräfte und Zwangskräfte
> Ursache einer Beschleunigung/ Impulsänderung(der
> Ortsvektor des Teilchens entlang der Schiene/ Kurve!).
Aber was du zur Eliminination der überflüssigen Variablen brauchst, sind nur [mm] $\ddot [/mm] z(t)$ und [mm] $\dot [/mm] z(t)$. Deswegen meine Frage, was das mit dem Ortsvektor zu tun hat. Aber egal.
Es ist außerdem deutlich einfacher, wenn du nicht alles ausmultiplizierst:
[mm] \dot z = 4x^3\dot x -4x\dot x = 4\dot x(x^2-1) [/mm] ,
sodass du sofort auf
[mm] \ddot z = 4\ddot x(x^2-1) + 8 x\dot x^2 [/mm]
kommst.
> > Masse mal Beschleunigung ist die Summe aus eingeprägter
> > Kraft und Zwangskraft.
> >
>
> Ich habe die Kräfte, die ja Vektoren sind in ihre
> Komponenten zerlegt und für jede Komponente entsprechend
> die Bewegungsgleichung (BwG) aufgestellt. In x-Richtung
> kann lediglich die x-Komponente der Zwangskraft wirken, da
> der Gewichtskraftvektor (als Zeilenvektor)
> [mm]\left(0,0,-mg\right)[/mm] UND die z-Komponente der Zwangskraft
> ausschließlich in z-Richtung wirken.
>
>
>
> > Oder auch
> >
> > I. [mm]Z_x = m \ddot{x}[/mm] ,
> > II, [mm]Z_z -mg = \ddot{z}[/mm] .
> >
> > Es fehlt noch III. [mm]z - x^4+2x^2 = 0[/mm] .
> >
>
> Seltsam, [mm]z[/mm] habe ich doch gegeben und nach [mm]x[/mm] löse ich auf,
> also habe ich doch nur zwei Unbekannte, nämlich die
> Komponenten des Zwangskraftvektors. Ich verstehe also nicht
> warum ich deinen letzten Schritt für III. einbeziehen
> soll.
Ob du das als explizite Gleichung hinschreibst oder implizit verwendest ist egal; es bleibt dabai, dass du die Zwangsbedingung zur Elimination einer Unbekannten benutzt. Langsam verstehe ich, was du in deinem ersten Post geschrieben hast; deine Erklärungen waren für mich nicht nachvollziehbar.
> > > Wenn ich mich richtig erinnere, gilt die Beziehung:
> > >
> > > [mm]\bruch{Z_z}{Z_x} = - \cot\,\alpha = \bruch{1}{z'\leftx\left(x\right)\right)}[/mm]
>
> >
> > Wieso das denn? Das ist doch keine schiefe Ebene.
>
> Nein, denn die Dozentin hat diese Beziehung ebenfalls auf
> die Parabel angewendet -also nicht nur für die schiefe
> Ebene.
Also ist [mm] $\alpha$ [/mm] keine Konstante?
Dann ist die Gleichung [mm]\bruch{Z_z}{Z_x} =\bruch{-1}{z'(x)}[/mm] nichts anderes als
[mm] $\vec{Z} [/mm] = [mm] \lambda \nabla [/mm] f $ ,
denn im vorliegenden Fall $z=g(x) [mm] \gdw [/mm] f(x,z) = z-g(x) = 0$ ist
[mm] \nabla f = \vektor{-g'(x)\\1} [/mm] .
Der entscheidende Punkt ist, dass das nur deswegen so funktioniert, weil du in der Zwangsbedingung z als explizite Funktion von x gegeben hast. Für allgemeine Zwangsbedingungen $f(x,z)=0$ funktioniert das nicht, stattdessen hast du
[mm] \bruch{Z_z}{Z_x} =\frac{{\displaystyle \bruch{\partial f}{\partial z}}}{{\displaystyle\bruch{\partial f}{\partial x}}}}[/mm] .
> Außerdem können sich doch die Komponenten von [mm]\vec Z[/mm]
> entsprechend ändern, jedoch so, dass der Betrag des
> Vektors für [mm]\vec Z[/mm] konstant bleibt.
Diese Aussage verstehe ich wieder nicht. Wieso sollte der Betrag der Zwangskraft (für eine beliebige Zwangsbedingung) konstant sein?
> > Die Zwangskraft darf nur senkrecht zu der durch die
> > Zwangsbedingungen gegebenen (Hyper-)Fläche wirken. In
> > unseren Fall ist es nur eine Zwangsbedingung
> >
> > [mm]f(x,z) = 0[/mm] mit [mm]f(x,z) = z-x^4+2x^2[/mm] ,
> >
> > daher ist die Zwangskraft proportional zum Gradienten der
> > Funktion, also
> >
> > [mm]\vec{Z} = \lambda \nabla f[/mm]
> >
> > oder
> >
> > [mm]Z_x = \lambda *(-4x^3+4x)[/mm] , [mm]Z_z = \lambda * 1[/mm] .
> >
>
> Das verstehe ich gar nicht! Denn in der Vorlesung und in
> meinen Unterlagen und im Skript kann ich den von dir
> zugrunde gelegten Ansatz (Da fehlt das nicht vermittelte
> Wissen) nicht finden, geschweige denn nachvollziehen. Und
> von einem [mm]\lambda[/mm] ist gar nicht die Rede.
Siehe oben.
Zusammengefasst:
[mm] Z_x = - 4x(x^2-1)Z_z [/mm]
und daher
[mm] m \ddot{x} = - 4x(x^2-1)(mg + m\ddot{z}) = 4x(x^2-1)m(g + 4\ddot x(x^2-1) + 8 x\dot x^2 )[/mm] .
Jetzt musst du nur noch ausmultiplizieren.
Viele Grüße
Rainer
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