Newton mit Parameter? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo ich bins nochmal.
Vor kurzem hatte ich ein Referat über das Newtonsches Iterationsverfahren verfasst, und hatte festgestellt dass dieses Verfahren bei meinen Beispielen lediglich bei Funktionen ohne einen Parameter angwandt wurde.
Beispiel: [mm] f_{t}(x)=te^{x}+sin(x)-t [/mm] t,x [mm] \in \IR
[/mm]
Nun wollte ich fragen ob dieses Verfahren auch bei Funktonen mit Parameter angewendet werden kann.
Da stellt sich die Frage nach dem Startwert [mm] x_{n}.
[/mm]
Die Nullstelle ist abhängig von dem Parameter t
Bedanke mich im Voraus.
Gruß Mehmet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mehmet,
> Vor kurzem hatte ich ein Referat über das Newtonsches
> Iterationsverfahren verfasst, und hatte festgestellt dass
> dieses Verfahren bei meinen Beispielen lediglich bei
> Funktionen ohne einen Parameter angwandt wurde.
>
> Beispiel: [mm]f_{t}(x)=te^{x}+sin(x)-t[/mm] [mm]t,x \in \IR
[/mm]
>
> Nun wollte ich fragen ob dieses Verfahren auch bei
> Funktonen mit Parameter angewendet werden kann.
Ich wüßte nicht, was dagegen sprechen sollte. 
Du müßtest dann nur zusätzlich aufpassen, welche Werte Du für t einsetzen darfst, damit [mm] $f_t$ [/mm] überhaupt definiert ist.
Ansonsten läuft alles wie gehabt:
[m]\begin{gathered}
f_t \left( x \right): = te^x + \sin \left( x \right) - t;\quad t,x \in \mathbb{R} \hfill \\
\Rightarrow f_t '\left( x \right) = te^x + \cos \left( x \right) \hfill \\
\Rightarrow x_{i + 1} : = x_i - \frac{{f_t \left( x_i \right)}}
{{f_t '\left( x_i \right)}} = x_i - \frac{{te^{x_i} + \sin \left( x_i \right) - t}}
{{te^{x_i} + \cos \left( x_i \right)}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und fertig ist das Iterationsverfahren. Wobei Du aber hier noch in eine Extremstellen-Falle stolpern könntest...
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 20.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo Karl,
zunächst möcht ich mich für deinen Artikel bedanken!
Jedoch stellt sich immernoch das Problem mit dem Startwert [mm] x_{i}, [/mm] welchen du stehen lassen hast.
Da doch die Nullstelle abhängig vom Parameter ist ist es mir fraglich welchen Startwert ich wählen soll.
Gruß Mehmet
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Hallo Mehmet,
Ich würde sagen, daß das Newton-Verfahren hier sowieso erst einen Sinn bekommt, wenn man für [mm] $t\!$ [/mm] einen konkreten Wert einsetzt. Schließlich ist [mm] $t\!$ [/mm] konstant.
Viele Grüße
Karl
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Hi, Mehmet,
kann sein, dass es Parameterfunktionen gibt, bei denen man das Newton-Verfahren verwenden kann. Hab' das aber auch noch nie gesehen!
Deine Funktion jedenfalls erscheint mir denkbar ungeeignet.
Obwohl: Eine NS haben ja alle Funktionen, nämlich: x=0
(f(0) = 0 wie sich leicht ergibt, da sin(0)=0)
Nehmen wir an, Du hast die Parametergrundmenge so bestimmt, dass Du sicher bist, dass es außer x=0 noch weitere Nullstellen gibt.
Dann hast Du normalerweise unendlich viele Nullstellen! Für bestimmte Werte von t gibt's sogar doppelte NS! (Newton??)
Musst Dich also erst mal entscheiden: Welche will ich denn nehmen?
Nimm an, Du möchtest die erste NS links vom Ursprung; die würde m.E. wohl noch "am leichtesten" zu bestimmen sein.
Neues Problem: Startwert! Der hängt ja von t ab! Ist also nicht so, dass Du einfach sagen wir mal x=-1 nimmst und dann sukzessive bessere Näherungswerte suchst! Für bestimmte Werte von t kriegst Du dann einfach die NS x=0 nochmals. Heißt: Selbst Dein Startwert müsste von t abhängen! Kannst Du Dir vorstellen, welche Schwierigkeiten das mit sich bringt?!
Also: Ich kann mir nicht vorstellen, dass man sowas wirklich macht!
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