Newton Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Für die Berechnung einer speziellen Satellitenbahn muß folgende Kepler-Gleichung gelöst werden:
[mm] f_{x}=0,8-x+0,3sinx
[/mm]
Beweisen Sie, daß im Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] genau eine Lösung existiert. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:
1.Einsetzen der Randwerte:
[mm] f_{0}=0,8-0+0,3sin0=0,8 [/mm] 0,8>0
[mm] f_{\bruch{\pi}{2}}=0,8-\bruch{\pi}{2}+0,3sin\bruch{\pi}{2}=-0,47 [/mm] -0,47<0
D.h. VZ wechsel in Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
Dann 1. und 2. Ableitung bilden:
f'_{x}=-1+0,3cosx f''_{x}=-0,3sinx
f''_{x} nach x auflösen:
[mm] x=\pi*k [/mm] mit [mm] k\varepsilon\IZ
[/mm]
D.h. erster WP ausserhalb des Intervalls [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] und d.h. wiederum das in dem Intervall nur eine NS existieren kann.
In der Musterlös. steht:
Argumentation mit Vorzeichenwechsel der Randwerte und Zwischenwertsatz.
Mein Problem ist das ich nicht wirklich weiß wie man das mit dem Zwischenwertsatz macht (hab das so gemacht wie es für mich logisch erschien, mit der 2. Ableitung usw. Oder ist das sogar der Zwischenwertsatz??). Hab mich auch versucht online schlau zu machen, ich will das aber nicht so recht kapieren... Bitte um Hilfe. Danke!!!
MfG
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 25.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Stefan.
Der Zwischenwertsatz sagt ja aus, dass für Stetige Funktionen jeder Wert des Intervalles angenommen wird.
Also:
Ich habe eine Stetige Funktion f, ind zwei Intervallgrenzen a und b, alsi das Intervall [a;b]
Jetzt soll gelten f(a)<f(b).
Somit gibt es mindestens ein x für jeden Wert y mit f(a)<y<f(b).
Jetzt weisst du, dass an den Randstellen ein VZW vorliegt, das hast du ja bereits gezeigt.
Bleibt noch zu zeigen, dass f auf I [mm] [0;\bruch{\pi}{2}] [/mm] stetig ist, damit ich überhaupr den Zwischenwertsatz anwenden kann.
Wenn du das hast, weisst du schonmal, dass jedes y mit [mm] f(0)
Eindeutig wird es, wenn du zeigst, dass f auf I Monoton ist.
Marius
|
|
|
|
