Newton-/Gradientenverfahren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:09 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Rene81 |
| Aufgabe | | f: R³ -> R f(x,y,z) = (x-1)²(y-2)² + (y-3)²(z-2)² + 5(y-1)² |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Folgende Aufgabenstellung:
f: R³ -> R f(x,y,z) = (x-1)²(y-2)² + (y-3)²(z-2)² + 5(y-1)²
a) 1. Schritt des Newton-Verfahrens durchführen, beginnend mit Punkt (1,0,2)
b) 1. Iteration des Gradientenverfahrens durchführen, beginnend mit Punkt (1,0,2)
Da ich leider von diesem Thema überhaupt keine Ahnung habe, wäre ich für die Lösung und besonders eine kurze Erklärung dazu sehr dankbar.
lg René
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 10.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo René, herzlichen willkommen im Matheraum.
Natürlich gibt es immer wieder Aufgaben, bei denen einem die entscheidende Idee fehlt, der erste Schritt, wie man an eine Aufgabe herangehen kann.
Hier allerdings ist das ein klein wenig anders, meiner Meinung nach. Du hast konkret gegeben, was du machen sollst.
Du sollst in Aufgabenteil a) die erste Iteration des Newton- und in Teil b) die 1. Iteration des Gradientenverfahrens durchführen. Jetzt musst du in deinem Skript beide Algorithmen stehen haben. Poste die doch hier mal, dann kannst du erläutern, was genau dir Schwierigkeiten macht. Manchmal ist es ja durchaus so, dass man einen Algorithmus zwar versteht, aber an der konkreten Anwendung scheitert.
Du musst uns schon ein paar Inputs geben. Wenn wir dir das jetzt vorrechnen, wird das nichts bringen.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 So 11.12.2011 | | Autor: | Rene81 |
Also ich habe im Skript folgende Formel für das Newton-Verfahren:
[mm] \overrightarrow{x}_{k+1}= \overrightarrow{x}_{k} [/mm] - [mm] [H_{f}(\overrightarrow{x}_{k})]^{-1} \Delta f(\overrightarrow{x}_{k})
[/mm]
(vor dem letzten f sollte das ein umgekehrts "Delta-Zeichen" sein)
Formel für das Gradientenverfahren:
[mm] [\Delta f(\overrightarrow{x})]^T \overrightarrow{d}<0
[/mm]
weiters ist noch ein Startvektor angeben:
[mm] \overrightarrow{d}_{1}= [/mm] - [mm] \bruch{\Delta f(\overrightarrow{x}_{1})}{\parallel \Delta f(\overrightarrow{x}_{1})\parallel}
[/mm]
muss leider gestehen, dass ich aus dieser Formel nichts herauslesen kann. Wenn ich wüsste, dass ich eine 1. oder 2. Ableitung von etwas machen muss, würde ich das ganze wahrscheinlich etwas mehr verstehen, aber so fehlt mir leider jegliche Idee.
Danke.
lg René
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 So 11.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
na, das ist doch schon mal was ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Also ich habe im Skript folgende Formel für das
> Newton-Verfahren:
>
> [mm]\overrightarrow{x}_{k+1}= \overrightarrow{x}_{k}[/mm] - [mm][H_{f}(\overrightarrow{x}_{k})]^{-1} \bigtriangledown f(\overrightarrow{x}_{k})[/mm]
Und den Formeleditor hast du auch gleich benutzt. Gut!
>
> (vor dem letzten f sollte das ein umgekehrts
> "Delta-Zeichen" sein)
Habe das hier mal verbessert.
>
> Formel für das Gradientenverfahren:
> [mm][\bigtriangledown f(\overrightarrow{x})]^T \overrightarrow{d}<0[/mm]
Das ist die Bedingung dafür, dass d eine Abstiegsrichtung ist. Gradienten- und Newtonverfahren werden i.d.R. benutzt, um Optimierungsprobleme der Form
[mm]\min_{x\in\IR^n} \ f(x), f:D\in\IR^n\to\IR[/mm] zu lösen. Beide Verfahren sind interative Verfahren.
>
> weiters ist noch ein Startvektor angeben:
> [mm]\overrightarrow{d}_{1}=[/mm] - [mm]\bruch{\bigtriangledown f(\overrightarrow{x}_{1})}{\parallel\bigtriangledown f(\overrightarrow{x}_{1})\parallel}[/mm]
[mm]d_k[/mm] bezeichnet allg. die k-te Abstiegsrichtung.
>
> muss leider gestehen, dass ich aus dieser Formel nichts
> herauslesen kann. Wenn ich wüsste, dass ich eine 1. oder
> 2. Ableitung von etwas machen muss, würde ich das ganze
> wahrscheinlich etwas mehr verstehen, aber so fehlt mir
> leider jegliche Idee.
Das mit der Ableitung ist schon mal gut. Du musst dich erst einmal mit den Notationen auseinandersetzen, dann wird es wesentlich einfacher.
[mm]x_0[/mm] ist Startpunkt (hier konkret [mm]x_0=(1,0,2)[/mm])
[mm]\bigtriangledown f(\overrightarrow{x}_{k})[/mm] ist der Gradient von f im Punkt [mm]x_k[/mm].
[mm]H_{f}(\overrightarrow{x}_{k})[/mm] meint die Hessematrix von f im Punkt [mm]x_k[/mm]
und somit ist
[mm](H_{f}(\overrightarrow{x}_{k}))^{-1}[/mm] nichts anderes als die Inverse der Hessematrix von f in [mm]x_k[/mm].
Das müsste dir schon ein wenig weiterhelfen, oder?!
>
> Danke.
>
> lg René
Gruß
barsch
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