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| Aufgabe | Ziel dieser Aufgabe ist die numerische Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems
[mm] x_{2}^2=2x_{1}-1
[/mm]
[mm] x_{1}^3 +4x_{2}=0
[/mm]
Führen Sie einen Schritt mit dem Newton-Verfahren durch. Verwenden Sie x^(0) =(1 [mm] 1)^T [/mm] als Startwert.
Geben Sie Ihr Ergebnis exakt an! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie genau muss ich hier das Newton-Verfahren anwenden? Auch irretiert mich dass der Startwert als Vektor angegeben wird. Bitte um Hilfe.
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> Ziel dieser Aufgabe ist die numerische Lösung des
> nichtlinearen Gleichungssystems
> [mm]x_{2}^2=2x_{1}-1[/mm]
> [mm]x_{1}^3 +4x_{2}=0[/mm]
Statt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] würde ich lieber x und y verwenden !!
Für das Rechnen mit Papier und Bleistift ist dies praktischer.
> Führen Sie einen Schritt mit dem
> Newton-Verfahren durch. Verwenden Sie [mm] $\vec{x}_0\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1}$ [/mm] als
> Startwert.
> Geben Sie Ihr Ergebnis exakt an!
>
> Wie genau muss ich hier das Newton-Verfahren anwenden? Auch
> irritiert mich dass der Startwert als Vektor angegeben
> wird. Bitte um Hilfe.
Da wir zwei Gleichungen simultan lösen wollen, brauchen
wir das Newton-Verfahren für eine Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR^2
[/mm]
Schau mal da nach:
![[]](/images/popup.gif) Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen
(so was ähnliches habt ihr doch sicher behandelt ...)
Mach dir zuerst klar, welche Funktion f hier in Frage kommt
und bestimme dann ihre Jacobi-Matrix sowie deren Inverse.
Dann kann man durch Einsetzen in die Formel
[mm] $\vec{x}_{neu}\ [/mm] =\ [mm] N_f(\vec{x}):=\ \vec{x}-(J(\vec{x}))^{-1}f(\vec{x})$
[/mm]
einen Näherungsschritt durchführen.
LG Al-Chwarizmi
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so ich habe nun die Jakobi Matrix und die Inverse berechnet. Diese lauten bei [mm] mir:\pmat{ -2 & 2y \\ 3x² & 4 }
[/mm]
sowie
[mm] \begin{pmatrix}
-4 / (-8-6x²y)& 2y/(-8-6x²y) \\
-3x^2 / (-8-6x²y) & -2/(-8-6x²y)
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt ist halt die Frage welche ist meine Funktion f(x), die ich nehmen soll? Oder ist das egal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Sa 22.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Deine Gleichungen
[mm] y^2=2\cdot{x}-1 [/mm] und [mm] x^3+4\cdot{y}=0 [/mm] lauten ist die Jakobi Matrix bei Dir falsch. Es kommt dann
[mm] \pmat{ 2 & -2*y \\ 3*x^2 & 4 } [/mm] heraus. Damit ist dann auch die Inverse falsch.
Die Rechnung sieht dann so aus
[mm] \vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=\vektor{x_n \\ y_n}-\pmat{\br{\partial}{\partial{x}}f_1(x_n,y_n) & \br{\partial}{\partial{y}}f_1(x_n,y_n) \\ \br{\partial}{\partial{x}}f_2(x_n,y_n) & \br{\partial}{\partial{y}}f_2(x_n,y_n) }^{-1}*\vektor{f_1(x_n,y_n) \\ f_2(x_n,y_n)}
[/mm]
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> so ich habe nun die Jakobi Matrix und die Inverse
> berechnet. Diese lauten bei [mm]mir:\pmat{ -2 & 2y \\ 3x² & 4 }[/mm]
>
> sowie
> [mm] \begin{pmatrix}
-4 / (-8-6x²y)& 2y/(-8-6x²y) \\
-3x^2 / (-8-6x²y) & -2/(-8-6x²y)
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt ist halt die Frage welche ist meine Funktion f(x),
> die ich nehmen soll? Oder ist das egal.
Naja, wenn du schon eine Jacobi-Matrix bestimmt hast,
dann bist du doch offenbar schon von einer Funktion [mm] f(\vec{x})
[/mm]
ausgegangen, ich vermute:
$\ [mm] f(\vec{x})\ [/mm] =\ [mm] f\left(\pmat{x\\y}\right)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{y^2-2x+1\\x^3+4y}$
[/mm]
Leider hast du beim Schreiben diese verfluchten Tastatur-
Exponenten 2 und 3 verwendet, die von TeX nicht erkannt
werden, und dann hast du dich wohl genau deswegen bei
den Ableitungen selbst verrechnet.
Also: eine der vier Komponenten deiner Jacobi-Matrix ist
(oder erscheint jedenfalls) falsch .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 22.01.2011 | | Autor: | godlikeboy |
Ja stimmt. Danke da wurde ein Quadrat verschluckt^^
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