Newton-Verfahren < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren (3 Iterationsschritte) die Nullstellen der Funktion f(x)= 0,5 *x*Inx-1 ausgehend von der 1. Näherung xo= 4. |
Also ich habe die Aufgabe durchgeführt. Weil ich dann nicht wusste, woher ich weiß welches die Nullstelle ist, habe ich das nochmal mit dem Taschenrechner abgefragt. Der hat mir dann eine ganz andere Nullstelle geliefert, einen Wert den ich gar nicht habe.Nämlich 2.34575.
Ich kann mir nicht erklären, was ich falsch gemacht habe. Deswegen stelle ich hier jetzt mal meine Rechnung ein und wäre dankbar, wenn jemand das mal überprüfen könnte.
(h(x))/h´(x)
h(x)= 0,5*x*Inx-1
h´(x)= 0,5*Inx+0,5
(0,5*4*In4-1)/(0,5*In4+0,5)= 1,48564
(0,5*1,48564*In1,48564)/(0,5*In1,48564+0,5)= 0,42131
(0,5*0,42131*In0,42131)/(0,5*In0,42131+0,5)= -2,68538
|
|
| |
|
Hallo Julia,
Newton-Verfahren: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
[/mm]
man kommt relativ schnell auf eine gute Näherung...
Gruss Christian
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ah okay, dann habe ich eine falsche Formel.
Mit der Formel erhalte ich dann folgendes:
4-(0,5*4*In4-1)/(0,5*In4+0,5)= 2,51436
2,51436-(0,5*2.54136*In2.51436)/(0,5*In2,51436+0,5)= 1,30819
1,30819- (0,5*1,30819* In 1,30819)/(0,5* In 1,30819+0,5)
= 1,03117
Es taucht ja wieder nicht genau der Wert auf, den ich oben für die Nullstelle genannt habe (2.34575). Wie finde ich denn aus diesen Ergebnissen jetzt die Nullstelle?
|
|
|
| |
|
> siehe anfang der frage
> ah okay, dann habe ich eine falsche Formel.
>
> Mit der Formel erhalte ich dann folgendes:
>
> 4-(0,5*4*In4-1)/(0,5*In4+0,5)= 2,51436 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2,51436-(0,5*2.54136*In2.51436)/(0,5*In2,51436+0,5)=
> 1,30819
hier hast du denn Teil von h(x) vergessen, in dem du -1 rechnest..
>
> 1,30819- (0,5*1,30819* In 1,30819)/(0,5* In 1,30819+0,5)
> = 1,03117
ebenso
>
> Es taucht ja wieder nicht genau der Wert auf, den ich oben
> für die Nullstelle genannt habe (2.34575). Wie finde ich
> denn aus diesen Ergebnissen jetzt die Nullstelle?
ich hab bis zum 2.Schritt gemacht, und komm auf [mm] x_{2} [/mm] = 2,34876...
Gruss Christian
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | siehe anfang der Frage |
Ah okay stimmt, Dann habe ich da auch den Wert.
Aber allgemein hat man ja nicht die Vorgabe, welches die richtige Nullstelle wäre. Wie macht man das denn dann? Also wie erkenne ich, welches der ergebnisse die Nullstelle ist? Wenn ich das jetzt nicht vorher schon vom taschenrechner weiß.
|
|
|
| |
|
Hallo Julia!
Eine ungefähre Lage erhält man durch etwas Probieren.
Und mit der Iteration ist man am Ende, wenn sich die Werte kaum mehr verändern.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Oder indem man z.B. vorher Bisektionsverfahren anwendet und schaut in welchem Intervall sich die Vorzeichen des Funktionswertes ändern. Denn zwischen einem Vorzeichenwechsel muss (bei stetigen Funktionen) mindestens eine Nullstelle sein.
Gruss Christian
|
|
|
|
