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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 17.03.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe eine Frage zur Definition der Newton-Cotes-Quadratur.
Eine Quadratur-Formel ist ja definiert als [mm] I^{approx}(f)=(b-a)*\summe_{i=0}^{n}\lambda_if(t_i)
[/mm]
Die Idee bei Newton-Cotes ist nun ja, das angenäherte Integral [mm] I^{approx} [/mm] über f aufzufassen als exaktes Integral I über eine approximierte Funktion [mm] f^{approx}, [/mm] also [mm] I^{approx}(f)=I(f^{approx}).
[/mm]
Nun soll f durch ein Polynom approximiert werden.
Als Newton-Cotes-Gewichte hab ich gegeben [mm] \lambda_i=\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{L_i(t) dt}, [/mm] wobei [mm] L_i(t) [/mm] die Lagrange-Polynome der Lagrange-Interpolation sind.
Als Quadraturformel erhält man dann [mm] I^{approx}(f)=(b-a)*\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{L_i(t) dt}*f(t_i)
[/mm]
So, nun meine Frage:
Die [mm] f(t_i) [/mm] in der Quadraturformel , sind das die Funktionswerte der exakten Funktion f oder die der approximierten Funktion [mm] f^{approx}?
[/mm]
Wenn es die der exakten Funktion sind, wo tritt dann die Approximation von f überhaupt auf in der Quadraturformel?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 18.03.2009 | | Autor: | alex42 |
Hallo Nadine,
die [mm] $f(t_i)$ [/mm] in der Formel sind die exakten Funktionswerte von $f$. Deine Verwirrung kommt glaube ich daher, dass du in deiner "Herleitung" am Ende etwas die Reihenfolge etwas verdreht hast:
Wenn die allgemeine Quadraturformel gegeben ist, fragt man sich halt, wie man die Gewichte [mm] $\lambda_i$ [/mm] (und Stützstellen [mm] $t_i$) [/mm] wählen kann.
Idee: Approximiere $f$ durch ein Polynom, und integriere dieses Polynom exakt (das geht schließlich einfach). Ihr habt dann das Lagrange-Interpolationspolynom aufgestellt, für $f$ in das Integral eingesetzt und auf die allgemeine Form für Quadratur umgeformt. Daraus kann man dann die Newton-Cotes-Gewichte ablesen. Die Approximation von $f$ ergibt sich also durch die Wahl der Gewichte.
Gruß,
Alex
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