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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:56 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
| Aufgabe | Sei u, v [mm] \in \IR^n [/mm] , B [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] mit B = [mm] uv^t [/mm] .
Zeigen Sie, dass
[mm] \summe_{k=o}^{\infty} B^k [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t
[/mm]
gilt.
Anmerkung: Insbesondere folgt daraus
[mm] (I_n [/mm] - [mm] B)^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=o}^{\infty} B^k [/mm] |
Hallo alle zusammen,
hab mich mit vollständiger Induktion an die Aufgabe gewagt, kam jedoch beim Induktionsschritt nicht wieder auf den rechten Term. Zweifle jetzt auch, dass es überhaupt die richtige Methode ist um die Aufgabe zu lösen.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
Gruß Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mi 14.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Da stimmt was nicht ! Ohne weitere Vor. an u und v ist die Aussage falsch, wie man schon im Fall n=1, u=v=1 sieht.
Hast Du was vergessen ?
FRED
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Hi,
brauche Kontrolle bei paar meine Rechenschritte:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t [/mm] , es gilt: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 -q} [/mm] und |u^tv| < 1 (Steht in der Aufgabenstellung.
[mm] =>I_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 - u^tv} uv^t [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (u^tv)^k uv^t
[/mm]
ab jetzt bin ich mir nicht sicher:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (u^tv)^k uv^t [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (v^tu)^k uv^t [/mm]
wegen [mm] u^{t}v [/mm] * [mm] uv^t [/mm] = [mm] v^{t}u [/mm] * [mm] uv^t [/mm] = [mm] (uv^t)^2 [/mm] , <=ist hier ein Fehler?
folgt:
[mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (v^tu)^k uv^t [/mm] = [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (uv^t)^{k + 1}
[/mm]
= [mm] I_n [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (uv^t)^{k} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (uv^t)^{k }
[/mm]
Gruß Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 20.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] B=uv^t [/mm] gilt, ist [mm] B^k=q^{k-1}*B [/mm] für [mm] k\ge1 [/mm] mit [mm] q=v^t*u
[/mm]
Deshalb gilt
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}B^k=I_n+B*\summe_{i=1}^{\infty}q^{k-1}=I_n+B*\summe_{i=0}^{\infty}q^k
[/mm]
wenn |q|<1 gilt, folgt
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}B^k=I_n+\bruch{1}{1-q}*B
[/mm]
also das gewünschte Ergebnis.
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