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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:35 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Mathematik-Olympiade, 4. Stufe (Bundesrunde) Klasse 12-13
Es sei $ABC$ ein Dreieck und [mm] $\alpha,\beta,\gamma$ [/mm] seine Innenwinkel. Man zeige, dass $ABC$ genau dann rechtwinklig ist, wenn
[mm] $\frac{sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma}{cos^2 \alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma}=2$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ich forme zuerst einmal um, indem ich die Gleichung mit dem Nenner multipliziere und indem ich [mm] $\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$ [/mm] etc. ersetze.
Man erhält, dass die Ausgangsgleichung äquivalent ist zur Bedingung
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$.
[/mm]
Sei jetzt ABC ein rechtwinkliges Dreieck und sei oBdA [mm] $\gamma=90°$, [/mm] dann ist [mm] $\cos(\gamma)=0$ [/mm] und [mm] $\cos(\beta)=\sin(\alpha)$. [/mm] Das eingesetzt ergibt
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$.
[/mm]
Sei jetzt umgekehrt [mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$. [/mm] Subtraktion mit [mm] $\cos^2(\gamma)$ [/mm] ergibt:
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)=1-\cos^2(\gamma)=\sin^2(\gamma)=\sin^2(\alpha+\beta)$
[/mm]
Die letzte Gleichung folgt aus [mm] $\sin(\gamma)=\sin(180°-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)$.
[/mm]
Anwendung des Additionstheorems des Sinus: [mm] $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$ [/mm] ergibt:
[mm] $\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)=\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)+\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)+ 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$
[/mm]
Wir subtrahieren mit [mm] $\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)+\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)$ [/mm] und erhalten:
[mm] $\cos^2(\alpha)-\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)+\cos^2(\beta)-\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$
[/mm]
Und daraus:
[mm] $\cos^2(\alpha)(1-\sin^2(\beta))+\cos^2(\beta)(1-\sin^2(\alpha))= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$
[/mm]
Und weiter:
[mm] $2\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta)$
[/mm]
Entweder ist [mm] $\cos(\alpha)=0$ ($\alpha=90°$) [/mm] oder [mm] $\cos(\beta)=0$ ($\beta=90°$) [/mm] oder sonst darf man durch [mm] $2\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)\neq [/mm] 0$ dividieren und erhält:
[mm] $1=\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}=\tan(\alpha)\tan(\beta)$.
[/mm]
Es ist bekannt, dass wenn [mm] $\tan(\alpha)\tan(\beta)=1$ [/mm] ist (und [mm] $0°<\alpha+\beta<180°$), [/mm] dann [mm] $\alpha+\beta=90°$ [/mm] (und damit [mm] $\gamma=90°$). [/mm] Diese Tatsache kann man dem Additionstheorem des Tangens entnehmen: [mm] $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$.
[/mm]
In diesem Fall ist die rechte Seite (Nenner 0) nicht definiert, was nur der Fall ist, wenn [mm] $\alpha+\beta=90°$ [/mm] ist.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Klasse, so in der Art hab ichs auch gemacht 
Liebe Grüße,
Hanno
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