Neue Aufgaben Nr. 8 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:33 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Kanadische Mathematik Olympiade 1969.
Sei [mm] $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$ [/mm] und [mm] $p_1,p_2,p_3$ [/mm] alle von Null verschieden. Beweise, dass dann
[mm] $\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n=\frac{p_1 a_1^n+p_2 a_2^{n}+p_3 a_3^{n}}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}$ [/mm]
für alle [mm] $n\geq [/mm] 1$ gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
Hallo nochmal
>
> Quelle: Kanadische Mathematik Olympiade 1969.
Wo war Kanada eigentlich in der PISA-Studie, ist doch eigentlich ganz simpel...  (nicht, daß das irgendwelche Relevanz hätte...)
> Sei [mm]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}[/mm] und
> [mm]p_1,p_2,p_3[/mm] alle von Null verschieden.
Diese Eigenschaft sei im Folgenden mit (*) bezeichnet.
[mm]\frac{p_1 a_1^n+p_2 a_2^{n}+p_3 a_3^{n}}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}=\frac{p_1 b_1^n\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n+p_2 b_2^{n}\left(\frac{a_2}{b_2}\right) ^n+p_3 b_3^{n}\left(\frac{a_3}{b_3}\right) ^n}{p_1 b_1^n+p_2 b_2^{n}+p_3 b_3^{n}}[/mm] und dann, nach (*) (Ausklammern):
[mm]=\left(\frac{a_1}{b_1}\right) ^n[/mm]
Ein Zweizeiler, sozusagen.
Gute Nacht,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christian!
Ja, einige Aufgaben sind ziemlich einfach. Diese Aufgabe hier ist zum Beispiel eine direkte Konsequenz aus [mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$.
[/mm]
Schön gemacht.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
