Neue Aufgaben Nr. 11 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:38 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Kanadische Mathematikolympiade 1971
Zeige, dass der Term [mm] $n^2+2n+12, n\in\IN$ [/mm] nie durch 121 teilbar ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo!
Endlich mal wieder Leben in diesem Forum!
Meine Lösung ist vielleicht nicht die eleganteste, aber so spontan ist mir folgendes dazu eingefallen:
Angenommen 121 | n²+2n+12=(n+1)²+11=A (wie Ausdruck) (damit ist ja schon fast alles klar  )
Dann insbesondere 11 | (n+1)²+11 und damit, da 11 prim, 11 | n+1.
Substituiere n+1=11k für [mm]k\in\IZ[/mm], dann erhalten wir:
(n+1)²+11 = 121k²+11 = 11(11k²+1).
Nach Annahme muß aber nun 121 | A gelten, damit dann auch
11 | 11k²+1, und das ist ein Widerspruch (bzw. eigentlich kein Widerspruch sondern einfach nur nicht möglich, aber das sind Haarspaltereien...)
[mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung.
Ich hoffe, ich habe mich in meinem jugendlichen Übereifer nicht allergröbst vertan, glaube aber nicht (@Hanno: Jaaa, ich weiß, meine Begründungen sind wieder ziemlich knapp geraten),
Liebe Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christian!
Ja, das kann man doch so machen - wunderbar 
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi Hanno,
Schöne Aufgabe, wenn auch nicht wirklich schwer:
[mm] $121|n^2+2n+12 \Rightarrow 11|n^2+2n+12$
[/mm]
[mm] $n^2+2n+12 \equiv (n+1)^2 \, [/mm] (mod11)$ [mm] $\Rightarrow [/mm] n=11*k+10$
[mm] $n^2+2n+12=121(k+2)+132$
[/mm]
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Ja richtig, besonders schwierig ist sie nicht, aber das muss sie ja auch nicht immer sein. Gut gemacht.
Liebe Grüße,
Hanno
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