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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 19:45 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
So, um das Ganze mal wieder in Gange zu bringen, poste ich jetzt zwei neue Aufgaben. Ich hoffe, dass sie im Gegensatz zu den schwierigen Aufgaben zuvor, von irgendjemandem gelöst werden können. Auf geht's! ;)
Sei [mm] $a_1,a_2,...$ [/mm] eine Folge positiver, reeller Zahlen mit [mm] $\summe_{i=1}^{n}{a_i}\geq\sqrt{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\geq [/mm] 1$. Man beweise, dass dann
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{a_i^2}>\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\right)$ [/mm]
gilt.
EDIT: Entschuldigt, ich hatte vorher [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] vor der harmonischen Reihe stehen. Jetzt ist es korrekt.
Liebe Grüße und Viel Spaß,
Hanno
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Hi Hanno,
Bei dem Versuch eine Lösung zu finden, glaube ich ein Gegenbeispiel gefunden zu haben.
Alle [mm] a_i [/mm] seinen [mm] $\frac{\wurzel{n}}{n}$. [/mm] Deren Summe ist [mm] $\wurzel{n}$, [/mm] womit die Folge im Sinne der Aufgabenstellung erlaubt ist.
Die Summe der Quadrate ist aber n*(1/n)=1 !!!!!
umgeformt würde dies der Forderung:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_i^2}>\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\right) [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] 4 > [mm] \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}\right) [/mm] $
Dies ist aber sicher ein wiederspruch für groß genuge n, da die Harmonische Reihe über jede Grenze wächst.
Ich kann mir erlich gesagt nicht vorstellen, dass die Aufgabe durch so ein simples Gegenbeispiel zu lösen ist. Bin mal gespannt welchen Denkfehler du mir aufzeigen kannst 
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:52 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Dies ist so nicht richtig. Die Folgenglieder müssen von $n$ unabhängig definiert sein, denn sonst erhältst du für jedes $n$ eine neue Folge. Dies ist so nicht gedacht: die [mm] $a_i$ [/mm] bilden genau eine Folge, die für alle [mm] $n\geq [/mm] 1$ die Ungleichung [mm] $\summe_{i=1}^{n} a_i\geq\sqrt{n}$ [/mm] erfüllt.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 17.02.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Danke!
Hab da wohl etwas ziehmlich falsch verstanden *schäm*!
War der Meinung, dass n gegeben sei und jede beliebige natürliche Zahl darstellt.
Ist jetzt aber auf jeden Fall klar.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Do 17.02.2005 | | Autor: | Michi1980 |
Habs nicht gemacht, bin mir aber ziemlich sicher, dass es mit Induktion gehen müsste!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 17.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Michi!
Versuch's lieber erstmal, so einfach ist das nicht. Ob es mit Induktion möglich ist, weiß ich nicht, es ist allerdings in jedem Falle ohne machbar.
Liebe Grüße,
Hanno
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Es geht ja darum, die Summe über die Quadrate der [mm] $a_{i}$ [/mm] möglichst klein zu halten. Deshalb wählt man das jeweils kleinstmögliche [mm] $a_{n}$ [/mm] bei der Konstruktion der Folge: [mm] $a_{i}:=\wurzel{i}-\wurzel{i-1}$. [/mm] Dann ist $ [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_i}=\sqrt{n} [/mm] $ (Teleskopsumme). Daraus ergibt sich $ [mm] \summe_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}>\summe_{i=1}^{n}{\bruch{1}{4*i}}$, [/mm] weil:
[mm] $(\wurzel{i}-\wurzel{i-1})^2>\bruch{1}{4*i}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2*i-2\wurzel{i(i-1)}-1>\bruch{1}{4*i}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2*i-1-\bruch{1}{4*i}>2\wurzel{i(i-1)}$ [/mm] beide Seiten sind [mm] $\geq [/mm] 0$, also darf quadriert werden und es ist unter diesen Bedingungen eine Äquivalenzumformung.
[mm] $4*i^2-4*i+\bruch{1}{2*i}+\bruch{1}{16*i^2}>4*i^2-4*i$, [/mm] also
[mm] $\bruch{1}{2*i}+\bruch{1}{16*i^2}>0$, [/mm] fertig.
Weiß von euch jemand, welchen Wert (in geschlossener Darstellung) [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}{\left((\wurzel{i}-\wurzel{i-1})^{2}-\bruch{1}{4*i}\right)} \approx [/mm] 0.85335125$ hat?
Alles Gute wünscht euch
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Peter!
Im Grunde genommen ist dies richtig, doch fehlt ein wichtiger Schritt: der Beweis dafür, dass mit deiner Wahl der [mm] $a_i$ [/mm] die Quadratsumme wirklich kleinstmöglich wird. Wenn du das gezeigt hast, ist die Aufgabe gelöst.
Liebe Grüße,
Hanno
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