Negation von Quantoren < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | ich soll folgende Aussage negieren:
[mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S ( [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] H [mm] \wedge [/mm] s [mm] \in [/mm] h [mm] \wedge [/mm] w [mm] \in [/mm] h ) [mm] \Rightarrow [/mm] s [mm] \in [/mm] w |
Negation erfolgt ja immer Schritt für Schritt, allerdings fangen wir gerade mit dem Thema an und ich bin ziemlich unsicher:
[mm] \neg \exists [/mm] = [mm] \forall [/mm] ?
[mm] \neg \forall [/mm] = [mm] \exists [/mm] ?
[mm] \neg \wedge [/mm] = [mm] \vee [/mm] ?
was ist mit:
[mm] \neg \Rightarrow [/mm] = "daraus folgt nicht" ?
hier mal mein Versuch, denke aber nicht dass es korrekt ist, schaut bitte mal drüber, vielen Dank:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] S ( [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H [mm] \vee [/mm] s [mm] \in [/mm] h [mm] \vee [/mm] w [mm] \in [/mm] h) [mm] \Rightarrow s\not\in [/mm] w
Vielen Dank, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:22 So 25.10.2009 | | Autor: | Ersty |
Weiß irgendjemand, wie man RICHTIG negiert?
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Hallo!
> ich soll folgende Aussage negieren:
> [mm]\exists[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] S ( [mm]\exists[/mm]
> h [mm]\in[/mm] H [mm]\wedge[/mm] s [mm]\in[/mm] h [mm]\wedge[/mm] w [mm]\in[/mm] h ) [mm]\Rightarrow[/mm] s [mm]\in[/mm]
> w
> Negation erfolgt ja immer Schritt für Schritt, allerdings
> fangen wir gerade mit dem Thema an und ich bin ziemlich
> unsicher:
> [mm]\neg \exists[/mm] = [mm]\forall[/mm] ?
> [mm]\neg \forall[/mm] = [mm]\exists[/mm] ?
> [mm]\neg \wedge[/mm] = [mm]\vee[/mm] ?
Naja, genauer gesagt (P(x) sei eine Aussage in Abhängigkeit von x):
[mm] $\neg [\exists x\in [/mm] X: P(x)] [mm] \quad\gdw\quad \forall x\in [/mm] X: [mm] \neg [/mm] P(x)$
(Lies dir das mal laut vor, und denk drüber nach: Es ist unglaublich logisch  )
[mm] $\neg [\forall x\in [/mm] X: P(x)] [mm] \quad\gdw\quad \exists x\in [/mm] X: [mm] \neg [/mm] P(x)$
und nun noch die hier:
[mm] $\neg [/mm] [p [mm] \vee [/mm] q] [mm] \quad\gdw\quad \neg [/mm] p [mm] \wedge \neg [/mm] q$
[mm] $\neg [/mm] [p [mm] \wedge [/mm] q] [mm] \quad\gdw\quad \neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] q$
[mm] $\neg [p\Rightarrow [/mm] q] ) [mm] \quad\gdw\quad \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q$
> was ist mit:
> [mm]\neg \Rightarrow[/mm] = "daraus folgt nicht" ?
>
>
> hier mal mein Versuch, denke aber nicht dass es korrekt
> ist, schaut bitte mal drüber, vielen Dank:
>
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S ( [mm]\forall[/mm] h
> [mm]\in[/mm] H [mm]\vee[/mm] s [mm]\in[/mm] h [mm]\vee[/mm] w [mm]\in[/mm] h) [mm]\Rightarrow s\not\in[/mm] w
Deine Negation ist bis zum dritten Quantor richtig. Dann benutze nochmal die obigen Regeln, als nächstes ist der Folge-Operator aufzulösen!:
[mm] $\exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S ( [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] H [mm] \wedge [/mm] s [mm] \in [/mm] h [mm] \wedge [/mm] w [mm] \in [/mm] h ) [mm] \Rightarrow [/mm] s [mm] \in [/mm] w$
[mm] $\gdw \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] :\neg \left[( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \Rightarrow s \in w\right]$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 25.10.2009 | | Autor: | Ersty |
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] :\neg \left[( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \Rightarrow s \in w\right]
[/mm]
Daraus wird dann:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] :\neg \left[( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \vee s\in w\right]
[/mm]
Daraus dann:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] :\left[( \forall h \in H \vee s \in h \vee w \in h ) \vee s\in w\right]
[/mm]
Ist das so korrekt?
Vielen Dank!
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Hallo!
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]:\neg \left[( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \Rightarrow s \in w\right][/mm]
>
> Daraus wird dann:
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]:\neg \left[( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \vee s\in w\right][/mm]
Sei ein bisschen vorsichtiger mit den Klammern. Es muss
[mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]:\neg ( \exists h \in H \wedge s \in h \wedge w \in h ) \vee s\in w[/mm]
lauten, d.h. die eckigen Klammern weg.
> Daraus dann:
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]:\left[( \forall h \in H \vee s \in h \vee w \in h ) \vee s\in w\right][/mm]
Bevor man hier "ja" oder "nein" sagen kann, müsste man wissen, wie der Teil
[mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] H [mm] \wedge [/mm] s [mm] \in [/mm] h [mm] \wedge [/mm] w [mm] \in [/mm] h
gemeint ist. Ich würde ihn ja so interpretieren:
"Es existiert ein [mm] h\in [/mm] H und ein [mm] s\in [/mm] h und ein [mm] w\in [/mm] h "m
aber dann fehlt das "sodass ... ist", das kann also eigentlich nicht sein.
Es könnte aber auch in der ursprünglichen Formulierung so gemeint gewesen sein, dass diese ganzen Sachen existieren, sodass dann [mm] s\in [/mm] w ist. Dann wäre das aber seltsam aufgeschrieben gewesen (also der Folgepfeil [mm] \Rightarrow [/mm] hätte dann eigentlich ein ":" sein müssen).
Ist das oben in deiner Aufgabenstellung der genaue Wortlaut der Aufgabe?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 25.10.2009 | | Autor: | Ersty |
Die Aufgabenstellung gabs nur ausformuliert. Ich habe sie übersetzt:
http://okuson.rrz.uni-hamburg.de:8911/images/96dpi/f0bdf49d49dd96ee4eedf5618ebffddc.png
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Hallo!
Okay, dann ist ja alles klar
Deine Formalisierung ist zwar ein wenig seltsam (mit dem s [mm] \in [/mm] h), aber da die Aufgabe so seltsam gestellt ist ("so enthält der Wolf seinerseits das rosa Schweinchen"...), ist das schon okay.
Es gibt nun aber einen Fehler, den wir bereinigen müssen:
Die Originalaussage lautet dann
[mm] \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S ( [mm] \red{\exists h \in H : (s \in h \wedge w \in h)} [/mm] ) [mm] \Rightarrow [/mm] s [mm] \in [/mm] w
und damit sind wir in Punkto negieren im Moment hier:
[mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] S [mm]:\neg ( \exists h \in H : (s \in h \wedge w \in h) ) \vee s\in w[/mm]
Nun noch mal probieren, bitte 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 25.10.2009 | | Autor: | Ersty |
ah danke, der Tipp war gut:
ich schreib den Anfang jetzt nicht mehr mit auf, direkt ab der neg Klammer müsste es dann so weitergehen:
[mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H : (s [mm] \not\in [/mm] h [mm] \vee [/mm] w [mm] \not\in [/mm] h) [mm] \vee [/mm] s [mm] \in [/mm] w
Korrekt so?
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Hallo!
> ah danke, der Tipp war gut:
> ich schreib den Anfang jetzt nicht mehr mit auf, direkt ab
> der neg Klammer müsste es dann so weitergehen:
> [mm]\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] H : (s [mm]\not\in[/mm] h [mm]\vee[/mm] w [mm]\not\in[/mm] h) [mm]\vee[/mm] s
> [mm]\in[/mm] w
>
> Korrekt so?
Sieht gut aus, noch eine Kleinigkeit:
[mm](\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] H : (s [mm]\not\in[/mm] h [mm]\vee[/mm] w [mm]\not\in[/mm] h)) [mm]\vee[/mm] s [mm]\in[/mm] w
Du solltest diese Klammern setzen, weil das sonst mit dem [mm] \vee [/mm] am Ende nicht eindeutig ist.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 25.10.2009 | | Autor: | Ersty |
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!!!
Schönen Sonntag dir noch!
Gruß Max
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