Negation einer Äquivalenz < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme mit Hilfe der Regeln von De Morgan die Negation der Aussage A [mm] \gdw [/mm] B! |
Hallo erst mal!
Also die Aufgabe an sich stellte für mich nicht so das große Problem dar. Ich löste das Ganze wie folgt:
A [mm] \gdw [/mm] B
(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] A)
[mm] (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] A)
Dann zur Negation:
[mm] \neg [(\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] A)]
[mm] \neg (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \vee \neg (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] A) (nach De Morgan)
[mm] (\neg \neg [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee (\neg \neg [/mm] B [mm] \wedge \neg [/mm] A) (ebenfalls De Morgan)
(A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge \neg [/mm] A)
So weit so gut, sah für mich so weit auch recht nachvollziehbar aus und passte von der Wahrheitstabelle auch. Daraufhin googlete ich die Aufgabe mal und fand als Negation einfach nur [mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg [/mm] B!
Nun führte ich [mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg [/mm] B zurück:
[mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg [/mm] B
[mm] (\neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A)
(A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee \neg [/mm] A)
Allerdings ist
(A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee \neg [/mm] A) [mm] \not= [/mm] (A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge \neg [/mm] A)
Deshalb frage ich mich nun:
Habe ich beim Finden meiner Lösung einen Fehler bei der Umformung gemacht?
Ist [mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg [/mm] B möglicherweise falsch? oder
Kann ich von meiner Lösung durch irgendeine Umformung, die ich im Moment noch nicht sehe, auf [mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg [/mm] B kommen?
Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! :)
Danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo calleigh_duquesne und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimme mit Hilfe der Regeln von De Morgan die Negation
> der Aussage A [mm]\gdw[/mm] B!
> Hallo erst mal!
> Also die Aufgabe an sich stellte für mich nicht so das
> große Problem dar. Ich löste das Ganze wie folgt:
>
> A [mm]\gdw[/mm] B
> (A [mm]\Rightarrow[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\Rightarrow[/mm] A)
> [mm](\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] A) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann zur Negation:
>
> [mm]\neg [(\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] A)]
> [mm]\neg (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\vee \neg (\neg[/mm] B [mm]\vee[/mm] A) (nach De
> Morgan)
> [mm](\neg \neg[/mm] A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee (\neg \neg[/mm] B [mm]\wedge \neg[/mm]
> A) (ebenfalls De Morgan)
> (A [mm]\wedge \neg[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge \neg[/mm] A)
Jo, das passt!
>
> So weit so gut, sah für mich so weit auch recht
> nachvollziehbar aus und passte von der Wahrheitstabelle
> auch. Daraufhin googlete ich die Aufgabe mal und fand als
> Negation einfach nur [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw \neg[/mm] B!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist Unsinn, das ist nicht die Negation von [mm] $A\gdw [/mm] B$,
sondern äquivalent zu [mm] $A\gdw [/mm] B$
Traue nicht allem, was du auf google findest 
> Nun führte ich [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw \neg[/mm] B zurück:
> [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw \neg[/mm] B
> [mm](\neg[/mm] A [mm]\Rightarrow \neg[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm]
> A)
> (A [mm]\vee \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee \neg[/mm] A)
Und das ist (kommutativ gertauscht) genau das, was du aus [mm] $A\gdw [/mm] B$
ganz oben hergeleitet hast.
>
> Allerdings ist
> (A [mm]\vee \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee \neg[/mm] A) [mm]\not=[/mm] (A [mm]\wedge \neg[/mm]
> B) [mm]\vee[/mm] (B [mm]\wedge \neg[/mm] A)
>
> Deshalb frage ich mich nun:
> Habe ich beim Finden meiner Lösung einen Fehler bei der
> Umformung gemacht?
> Ist [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw \neg[/mm] B möglicherweise falsch? oder
> Kann ich von meiner Lösung durch irgendeine Umformung,
> die ich im Moment noch nicht sehe, auf [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw \neg[/mm] B
> kommen?
>
> Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! :)
>
> Danke schon mal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Super, vielen Dank schachuzipus! (:
Frage damit geklärt!
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