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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 16.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, also, die Ausgangsaussage ist folgende:
Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Was ist die Negation davon. Ich habe 2 Lösungsvorschläge, hab jedoch das Gefühl, dass beide flasch sind:
Zwei Dreiecke sind genau dann nciht kongruent, wenn sie nicht den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Es gibt mindestens ein Paar Dreiecke, das kongruent ist, wenn nicht der Flächeninhalt gleich ist.
Und dann sollen wir ncoh sagen, ob die Aussage wahr oder falsch ist (welche auch immer... )
Vielen Dank schon mal im Vorraus =)
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hi!
Also das ist pure Aussagenlogik:
A: Dreiecke sind kongruent
B: Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt
und die Aussage die du negieren willst ist:
A [mm] \gdw [/mm] B
quasi: Die Dreiecke sind kongruent genau dann, wenn sie den gleichen Flächeninhalt haben.
die Negation ist folgende:
[mm] \neg [/mm] (A [mm] \gdw B)=\neg((\neg A\wedge\neg [/mm] B) [mm] \vee (A\wedge [/mm] B)) [mm] =\neg(\neg [/mm] A [mm] \wedge\neg [/mm] B) [mm] \wedge \neg (A\wedge [/mm] B) [mm] =(A\vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B)
in Worten: Die Dreiecke sind kongruent oder haben den gleichen Flächeninhalt und sind nicht kongruent oder haben nicht den gleichen Flächeninhalt.
Vielleicht kann man das noch kürzer machen... aber so funktioniert das...
Liebe Grüße,
Spellbinder
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 16.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hm, versteh ich irgendwie gar nich. Also, erstes- kann ich denn wirklich A und B äquivalent setzen? Denn, wenn 2 dreiecke den gleichen Flächeninhalt besitzen sind sie noch lange nicht kongruent... Also müsste es doch nur in eine Richtung gehen. Also von A -> B, oder?
Und wie bist du zu den ganzen "oder" gekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Mo 17.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Phoebe!
> Hm, versteh ich irgendwie gar nich. Also, erstes- kann ich
> denn wirklich A und B äquivalent setzen? Denn, wenn 2
> dreiecke den gleichen Flächeninhalt besitzen sind sie noch
> lange nicht kongruent... Also müsste es doch nur in eine
> Richtung gehen. Also von A -> B, oder?
Darum geht es ja erst im zweiten Teil deiner Aufgabe, wo du den Wahrheitsgehalt überprüfen musst. Bei der Negation geht es darum erstmal die Aussage aufzustellen und zu negieren. Deine Aussage "Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent wenn sie den gleichen Flächeninhalt haben" ist ja eine Äquivalenz. Der Ausdruck "genau dann wenn" steht für eine Äquivalenz.
> Und wie bist du zu den ganzen "oder" gekommen?
Die Aussage [mm](A \gdw B)[/mm] kann man auch schreiben als [mm](A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)[/mm], heißt also: Es gelten A und B oder es gelten weder A noch B. Und das ist ja das gleiche wie Äquivalenz. Wenn man diese Aussage negiert, kann man die normalen Regel der Negation anweden:
[mm]\neg (A \wedge B) \gdw \neg A \vee \neg B[/mm]
[mm]\neg (A \vee B) \gdw \neg A \wedge \neg B[/mm]
[mm]\neg (\neg A) \gdw A[/mm]
Versuch mal, ob du damit die Umformungen nachvollziehen kannst.
Übrigens kann man das ganze auch etwas anders lösen:
[mm](A \gdw B) \gdw ((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)) \gdw ((A \vee \neg B) \wedge (B \vee \neg A))[/mm]
Wenn man das negiert kommt folgendes raus:
[mm](\neg ((A \vee \neg B) \wedge (B \vee \neg A))) \gdw (\neg (A \vee \neg B) \vee \neg (B \vee \neg A)) \gdw ((\neg A \wedge B) \vee (\neg B \wedge A))[/mm]
Was soviel heißt wie: Zwei Dreiecke sind kongruent und haben nicht den gleichen Flächeninhalt oder zwei Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt und sind nicht kongruent. Das ist vielleicht ein bisschen anschaulicher...
Gruß taura
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