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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:25 Do 11.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht sind die Max / Min der Funktion f(x,y) = -3x+2y auf:
E={(x,y,z): [mm] x²+y²\ge [/mm] 2, [mm] x²+y²+z²\le [/mm] 4 } |
Hallo alle zusammen.
Also das Problem habe ich gelöst, nur mir stellen sich hier so einige Fragen über die Nebenbedingung, zeurst der Rechenweg:
Fall 1:
[mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] -3x+2y+\lambda*(x²+y²-2)
[/mm]
[mm] \partial [/mm] x [mm] -3+\lambda*(2x=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] y 2 + [mm] \lambda*(2y)=0
[/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] x²+y²=2
aus [mm] \partial [/mm] y:
[mm] \lambda=1/y
[/mm]
in [mm] \partial [/mm] x:
3+2x/y=0
3y+2x=0
y=-2/3*x
x²+4/9x²=2
[mm] x=\pm\wurzel{18/13}
[/mm]
Somit habe ich die Punkte:
[mm] P_1(\wurzel{18/13},\wurzel{8/13},0)
[/mm]
[mm] P_2 (-\wurzel{18/13},\wurzel{8/13},0)
[/mm]
Fall 2:
Nochmal für: [mm] f(x,y,\lambda)=-3x+2y+\lambda*(x²+y²+z²-4 [/mm] )
[mm] \partial [/mm] x [mm] -3+\lambda*(2x)=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] y [mm] 2+\lambda*(2y)=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] z [mm] \lambda*2z=0
[/mm]
[mm] \partial \lambda [/mm] x²+y²+z²=4
[mm] \lambda=0
[/mm]
z=0
mit [mm] \lambda=0 [/mm] erreiche nich nichts
mit z=0
bin ich wieder im fast gleichen Fall wie vorhin:
aus [mm] \partial [/mm] y:
[mm] \lambda=1/y
[/mm]
in [mm] \partial [/mm] x:
3+2x/y=0
3y+2x=0
y=-2/3*x
x²+4/9x²=2
[mm] x=\pm\wurzel{36/13}
[/mm]
Somit habe ich die Punkte:
[mm] P_3(\wurzel{36/13},\wurzel{16/13},0)
[/mm]
[mm] P_4(-\wurzel{36/13},\wurzel{16/13},0)
[/mm]
Fall 3:
Und nochmal für:
[mm] f(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=-3x+2y+\lambda_1*(x²+y²-2)+\lambda_2*(x²+y²+z²-4 [/mm] )
[mm] \partial [/mm] x [mm] -3+\lambda_1*(2x)+\lambda_2*(2x)=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] y [mm] 2+\lambda_1*(2y)+\lambda_2*(2y)=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] z [mm] \lambda_2*(2z)=0
[/mm]
aus [mm] \partial [/mm] z bekomme ich [mm] \lambda_2=0 [/mm] oder z=0
mit [mm] \lambda_2=0 [/mm] bin ich wieder im "Fall 1"
mit z=0 bin ich im "Fall 2" (dabei nehme ich [mm] \partial [/mm] x un [mm] \partial [/mm] y her, fasse [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_1 [/mm] zusammen und löse die beiden Gleichungen durch Additionsverfahren auf und erhalte damit den gleichen Weg wie bei Fall 2)
So nun meine Probleme:
Ich habe hier jetzt folgendes Untersuch:
Fall 1: Die Extrema auf dem Zylinder mit keiner Begrenzung in Richtung z
Fall 2: Die Kugel mit Radius 2
Fall 3: Der Kreisring welcher auf der Kugel liegt mit Koordinaten z: [mm] \pm \wurzel{2} [/mm] (liege ich hiermit richtig?)
Also ich frage mich nun:
Im Fall 1 habe ich ja keine Abhängigkeit von z, also könnte ich ja rein theoretisch die Punkte nicht nur in z=0 sondern auch sonst wo wählen, kann das sein? Aber wieso kann ich sie mit z beliebig wählen, wenn die Ebene den Zylinder nicht parallel zur z Achse schneidet, sondern schief ist?
Fall 2 untersucht mir die Kugel nach Max / Min
Fall 3 Wie komme ich jetzt dazu, dass mir durch die Rechnung die Max / Min nicht auf dem Kreisring auf der Oberfläche der Kugel gegeben werden, sondern in z=0? Das verdutzt mich jetzt schon etwas, denn mit den beiden Lagrange Multiplikatoren müsste ich doch eigentlich in [mm] z=\pm [/mm] Wurzel(2) sein und nicht in z=0?
Hat hier jemand eine Erklärung für mich?
Dankeschön
lg
Zuggel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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