Näherungsformel verifizieren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 23.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | Verifizieren Sie die Näherungsformel
[mm] \wurzel{a^{2}+x} \approx a+\bruch{x}{2a}-\bruch{x^{2}}{8a^{3}}
[/mm]
und berechnen Sie [mm] \wurzel{17} [/mm] |
Hallo zusammen,
sitze, wie so oft in den letzten Monaten, verzweifelt vor einem Aufgabenblatt und komme nicht weiter *G*
Es geht um die Verifizierung einer Näherungsformel für
[mm] \wurzel{a^{2}+x}
[/mm]
Man muss es mit der Taylorentwicklung lösen. Das habe ich auch ganz alleine :) geschafft:
f(x) = [mm] \wurzel{a^{2}+x}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a^{2}+x}}
[/mm]
f''(x) = - [mm] \bruch{-2\bruch{1}{2\wurzel{a^{2}+x}}}{4(a^{2}+x} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4(a^{2}+x)\wurzel{a^{2}+x}}
[/mm]
f(0) = a
f'(0) = [mm] \bruch{1}{2a}
[/mm]
f''(0) = [mm] -\bruch{1}{4a^{3}}
[/mm]
T(x) = a [mm] +\bruch{x}{2a} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{8a^{3}}
[/mm]
Nun komme ich aber nicht weiter. Man muss [mm] \wurzel{17} [/mm] berechnen.
Aber was meinen die damit?
Muss man [mm] a^{2}+x [/mm] = 17 setzen und dann nach x auflösen? Auf dem Aufgabenblatt steht leider nicht wo man die [mm] \wurzel{17} [/mm] einsetzen muss.
schönen Tag Euch allen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Fr 23.09.2011 | | Autor: | fred97 |
In
$ [mm] \wurzel{a^{2}+x} \approx a+\bruch{x}{2a}-\bruch{x^{2}}{8a^{3}} [/mm] $
wähle a=4 und x =1 und berechne damit näherungsweise [mm] \wurzel{17}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 23.09.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey fred97,
danke für den Tipp!
Man kann also alle möglichen Zahlen für a und x einsetzen, solange
[mm] a^{2}+x [/mm] = 17 erfüllt ist.
Danke =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 23.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hey fred97,
>
> danke für den Tipp!
> Man kann also alle möglichen Zahlen für a und x
> einsetzen, solange
> [mm]a^{2}+x[/mm] = 17 erfüllt ist.
Nein, der Ausdruck
[mm] a+\bruch{x}{2a}-\bruch{x^{2}}{8a^{3}} [/mm]
sollte schon "bequem" zu berechnen sein
FRED
>
> Danke =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janine!
Du solltest auch berücksichtigen, dass Deine Taylor-Reihe um den Punkt [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ aufgestellt wurde.
Daher solltest Du Dein $x_$ möglichst klein (d.h. nahe bei der Null) halten.
Und da 16 die nächstliegende Quadratzahl ist, liegt die Aufteilung mit $17 \ = \ 16+1 \ = ß [mm] 4^2+1$ [/mm] ebenfalls nahe.
Gruß
Loddar
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