Näherung der Sinusfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Coala |
| Aufgabe | Annäherung an eine Sinusfunktion mit Hilfe einer ganzrationalen Funktion
Beweisen Sie, dass für alle x in R gilt:
sin (x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] p2n-1 (x) mit
p2n-1 (x)= x- [mm] \bruch{1}{3!}x^{3}+\bruch{1}{5!}x^{2.5}+...+-1^{n-1}*\bruch{1}{(2n-1)!}x^{2n-1} [/mm] |
Es geht bei der Aufgabe um die Annäherung an eine Sinusfunktion mithilfe einer ganzrationalen Funktion. Dabei wird mit den Ableitungen gearbeitet und diese neue Funktion soll in so vielen Ableitungen wie möglich mit der Sinusfunktion übereinstimmen. Die zwischenschritte habe ich begriffen, aber ich ervstehe nicht ganz, wie man auf die letzte Formel kommt...kann mir da jemand weiterhelfen? Ist das eine Taylorreihe? Dazu habe ich zwar im Internet schon einiges gelesen, aber den Ansatz verstehe ich trotzdem nicht. Wie kommt man denn auf die Fakultät? Und das n, ist das die Anzahl der übereinstimmenden Ableitungen? Wenn ja, wie kommt man denn dann auf 2n-1?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe es kann mir irgendwer helfen...
Eure verzweifelte Coala
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Coala,
Ja, das ist eine Taylorreihe. Und zwar die Entwicklung von [mm] $\sin(x)$ [/mm] um den Punkt [mm] $x_0=0$.
[/mm]
Das funktioniert so:
Du brauchst eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit Werten in [mm] $\mathbb{R}$. $f(x)=\sin(x)$ [/mm] erfüllt diese Bedingung.
Dann brauchst du noch einen Punkt [mm] $x_0$, [/mm] in dessen Umgebung die Funktion angenähert werden soll. Hier ist das [mm] $x_0=0$.
[/mm]
Die Formel zur Berechnung der Taylorreihe ist [mm] $T(x)=\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}$ [/mm] (daher kommen auch die Fakultäten...) Dabei ist [mm] $f^{(n)}(x_0)$ [/mm] die $n$-te Ableitung von $f(x)$ an der Stelle [mm] $x_0$.
[/mm]
So, jetzt gehts ans Einsetzen. Zunächst brauchst du die Ableitungen an der Stelle [mm] $x_0=0$:
[/mm]
[mm] $\sin(0)=0$
[/mm]
[mm] $\sin'(0)=1$
[/mm]
[mm] $\sin''(0)=0$
[/mm]
[mm] $\sin'''(0)=-1$ [/mm] ... das wiederholt sich jetzt immer, denn [mm] $\sin^{(4)}(x)=\sin(x)$.
[/mm]
Also [mm] $T(x)=\sum_{n=0}^\infty \sin^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$. [/mm] Wenn man die Ableitungen einsetzt, erhält man
[mm] $T(x)=0*\frac{x^0}{0!}+1*\frac{x^1}{1!}+0*\frac{x^2}{2!}+(-1)*\frac{x^3}{3!}+\ldots$
[/mm]
Alle Summanden mit geradem $n$ fallen weg. Was übrig bleibt, ist [mm] $T(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$
[/mm]
Das ist genau dein [mm] $\lim_{n\to\infty}p_{2n-1}$.
[/mm]
Das $n$ steht da aber nicht für die übereinstimmenden Ableitungen. Wenn du nicht den Grenzwert [mm] $\lim_{n\to\infty}$ [/mm] bildest (oder die Summe bei einem bestimmten $n$ abbrichst), nähert sich die Taylorreihe nur "ein bisschen" an - je größer das $n$, desto besser. Wenn du den Grenzwert bildest, stimmt die Taylorreihe in allen Ableitungen mit der ursprünglichen Funktion überein (i.A. aber nur im Punkt [mm] $x_0$!).
[/mm]
Das $2n-1$ kommt daher, dass alle geradzahligen Ableitungen von [mm] $\sin(x)$ [/mm] bei $x=0$ wegfallen. Es werden also nur die ungeraden $n$ mitgezählt.
So, ich hoffe dir ist jetzt klarer, was da eigentlich in der Aufgabe steht.
Wie habt ihr denn solche Aufgaben in der Schule gelöst?
Hast du eine ähnliche Formel für den Kosinus? Dann könntest du einfach die ersten vier Ableitungen ausrechnen und vergleichen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Coala |
Hallo Fulla,
danke erstmal für deine Antwort, du hast mir schonmal sehr geholfen! Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe ist, wie kann man denn die Taylorformel beweisen? Wir haben solche Aufgaben nämlich noch gar nicht in der Schule gemacht, ich muss da so was ähnliches wie eine Hausarbeit drüber schreiben, und ich glaube mein Lehrer verlangt von mir dass ich die Formel irgendwie herleite...
Nur nochmal schnell zur Absicherung ob ich das richtig verstanden habe: das 2n-1 liegt daran, dass die geraden Ableitungen wegfallen (stimmt, logisch, das hatte ich mir vorher auch schon überlegt), und das n soll dabei einfach so groß wie möglich sein, damit die Funktion der Sinusfunktion so nahe wie möglich kommt? Trifft es das so halb ;)?
Liebe Grüße, Coala
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Hallo Coala,
> Hallo Fulla,
> ^
> danke erstmal für deine Antwort, du hast mir schonmal sehr
> geholfen! Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe ist,
> wie kann man denn die Taylorformel beweisen? Wir haben
> solche Aufgaben nämlich noch gar nicht in der Schule
> gemacht, ich muss da so was ähnliches wie eine Hausarbeit
> drüber schreiben, und ich glaube mein Lehrer verlangt von
> mir dass ich die Formel irgendwie herleite...
>
Setze hier an:
[mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(x-x_{0}\right)^{k}[/mm]
, wobei [mm]x_{0}[/mm] der Punkt ist, um den entwickelt wird (hier: [mm]x_{0}=0[/mm])
Nun, überlege Dir, wie Du an die unbekannten Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] kommst.
> Nur nochmal schnell zur Absicherung ob ich das richtig
> verstanden habe: das 2n-1 liegt daran, dass die geraden
> Ableitungen wegfallen (stimmt, logisch, das hatte ich mir
> vorher auch schon überlegt), und das n soll dabei einfach
> so groß wie möglich sein, damit die Funktion der
> Sinusfunktion so nahe wie möglich kommt? Trifft es das so
> halb ;)?
Ja, je größer das n, desto besser stimmt das mit der Sinus-Funktion überein.
>
> Liebe Grüße, Coala
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 26.05.2009 | | Autor: | Coala |
Hallo Mathepower,
danke erstmal für den Ansatzpunkt. Ich versuchs mal.
>
> Setze hier an:
>
> [mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(x-x_{0}\right)^{k}[/mm]
>
> , wobei [mm]x_{0}[/mm] der Punkt ist, um den entwickelt wird (hier:
> [mm]x_{0}=0[/mm])
>
> Nun, überlege Dir, wie Du an die unbekannten Koeffizienten
> [mm]a_{k}[/mm] kommst.
>
>
Also, wenn [mm] x_{0} [/mm] der Punkt sein soll, um den entwickelt wird, bezeichnet k sozusagen die Anzahl der Ableitung, oder? Also wäre das zB für die erste Ableitung
[mm] f(x)=f'(x)*x^{1}
[/mm]
oder hab ich da jetzt totalen Blödsinn gemacht? das wäre dann also einfach x, denn f'(x) is ja 1.
die zweite Ableitung wäre 0, also kann man die weglassen. Und die dritte Ableitung ist -1. Also sähe die Gleichung dann so aus:
[mm] f(x)=x-1*x^{3}
[/mm]
Aber das ist falsch, weil der letzte Teil sollte eigentlich
[mm] \bruch{-1}{3*2*1}
[/mm]
heißen. Also bin ich irgendwie vernagelt was einen Zwischenschritt angeht*kopfzerbrech*...Kann mir da vielleicht nochmal jemand auf die Sprünge helfen?
Liebe Grüße, eure (heute etwas zerstreute) Coala
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Hallo Coala,
> Hallo Mathepower,
>
> danke erstmal für den Ansatzpunkt. Ich versuchs mal.
>
> >
> > Setze hier an:
> >
> >
> [mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*\left(x-x_{0}\right)^{k}[/mm]
> >
> > , wobei [mm]x_{0}[/mm] der Punkt ist, um den entwickelt wird (hier:
> > [mm]x_{0}=0[/mm])
> >
> > Nun, überlege Dir, wie Du an die unbekannten Koeffizienten
> > [mm]a_{k}[/mm] kommst.
> >
> >
>
> Also, wenn [mm]x_{0}[/mm] der Punkt sein soll, um den entwickelt
> wird, bezeichnet k sozusagen die Anzahl der Ableitung,
> oder? Also wäre das zB für die erste Ableitung
k steht für die k.te Ableitung.
>
> [mm]f(x)=f'(x)*x^{1}[/mm]
>
> oder hab ich da jetzt totalen Blödsinn gemacht? das wäre
> dann also einfach x, denn f'(x) is ja 1.
>
> die zweite Ableitung wäre 0, also kann man die weglassen.
> Und die dritte Ableitung ist -1. Also sähe die Gleichung
> dann so aus:
>
> [mm]f(x)=x-1*x^{3}[/mm]
>
> Aber das ist falsch, weil der letzte Teil sollte
> eigentlich
>
> [mm]\bruch{-1}{3*2*1}[/mm]
>
> heißen. Also bin ich irgendwie vernagelt was einen
> Zwischenschritt angeht*kopfzerbrech*...Kann mir da
> vielleicht nochmal jemand auf die Sprünge helfen?
Nun, um an die unbekannten Koeffizienten zu kommen, bietet sich an beide Seiten der Gleichung abzuleiten, und die Werte an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] zu vergleichen.
>
> Liebe Grüße, eure (heute etwas zerstreute) Coala
Gruß
MathePower
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