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| Aufgabe | 1)
Man weiß, dass auf 4 Dezimalen genau [mm] \wurzel[3]{850}=9,4727 [/mm] ist.
a) Berechnen Sie daraus mit der "small change"-Formel näherungsweise den Wert [mm] \wurzel[3]{851}.
[/mm]
b) Welche Eingrenzung erhalten Sie für den Wert [mm] \wurzel[3]{851} [/mm] mit Hilfe von [mm] \wurzel[3]{850} [/mm] aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung? |
Hallo,
leider weiß ich gar nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorankommen soll....
Die Small-Change-Formel lautet:
[mm] \Delta [/mm] y [mm] \approx [/mm] y'(x)* [mm] \Delta [/mm] x
So, die müsste ich jetzt also auf meine Werte anwenden. Ich benötige also [mm] \Delta [/mm] x. Ok, das ist hier wahrscheinlich [mm] \wurzel[3]{1}=1.
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt auf y'(x), denn ich habe doch gar keine Funktion!!!!?????!!???
Und auch bei b) komme ich ja so nicht weiter.
Der MWS der Differentialrechnung besagt doch
[mm] \bruch{f(x_{0}+ \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}
[/mm]
Nun, selbst wenn ich also [mm] \Delta [/mm] x kenne... auch hier brauche ich eine Funktion... wie bekomme ich die denn bloß??
Wäre super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte....
Viele Grüße,
Anna
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Hallo Anna!
Mein Bauch sagt mir, dass Du hier für die Funktion $y(x)_$ die Stammfunktion von $y'(x) \ = \ [mm] \wurzel[3]{x}$ [/mm] ansetzen musst.
Denn Du kennst ja $y'(850) \ = \ [mm] \wurzel[3]{850} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 9.4727$ , welches Du in die Formel einsetzen kannst.
Dein [mm] $\Delta [/mm] x$ ist jeweils: [mm] $\Delta [/mm] x \ = \ 851-850 \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
danke für den Tipp. Ich glaube die Ableitung ist es nicht, denn dann wäre ja [mm] \Delta y\approx\wurzel[3]{850}*1 [/mm] und das kann ja nicht sein. Aber wenn [mm] f(x)=\wurzel[3]{x} [/mm] dann würde es ungefähr hinkommen.
Also, ich rechne dann:
[mm] Y'(x)=\bruch{1}{3}*x^{-2/3}
[/mm]
und damit müsste doch sein:
[mm] \Delta [/mm] y [mm] \approx\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{850}^{-2/3}*1
[/mm]
[mm] \approx0,074455
[/mm]
Dann ist [mm] \wurzel[3]{850}+ \Delta [/mm] y [mm] \approx [/mm] 9,547
Ich hatte aus der Vorlesung auch ein Ergebnis mitgeschrieben, und das war 9,4764. Also leider nicht ganz das, was ich ausgerechnet habe. Das hier ist ja auch viel zu groß...
Sieht hier jemand den Fehler??
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 26.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> danke für den Tipp. Ich glaube die Ableitung ist es nicht,
> denn dann wäre ja [mm]\Delta y\approx\wurzel[3]{850}*1[/mm] und das
> kann ja nicht sein. Aber wenn [mm]f(x)=\wurzel[3]{x}[/mm] dann würde
> es ungefähr hinkommen.
> Also, ich rechne dann:
>
> [mm]Y'(x)=\bruch{1}{3}*x^{-2/3}[/mm]
>
> und damit müsste doch sein:
>
> [mm]\Delta[/mm] y [mm]\approx\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{850}^{-2/3}*1[/mm]
Wieso noch einmal die dritte Wurzel?
Statt [mm] \bruch{1}{3}*\wurzel[3]{850}^{-2/3} [/mm] muss es [mm] \bruch{1}{3}*850^{-2/3} [/mm] heißen.
Gruß Abakus
>
> [mm]\approx0,074455[/mm]
>
> Dann ist [mm]\wurzel[3]{850}+ \Delta[/mm] y [mm]\approx[/mm] 9,547
>
> Ich hatte aus der Vorlesung auch ein Ergebnis
> mitgeschrieben, und das war 9,4764. Also leider nicht ganz
> das, was ich ausgerechnet habe. Das hier ist ja auch viel
> zu groß...
> Sieht hier jemand den Fehler??
>
> Viele Grüße,
> Anna
>
>
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Hallo crazyhuts!
Die Formel [mm] \Delta [/mm] y = [mm] \bruch{1}{3}850^{\bruch{2}{3}} [/mm] ist richtig, der Wert ist jedoch falsch berechnet . Es ergibt sich [mm] \Delta [/mm] y = 0,003714
Zum Wert [mm] \wurzel[3]{850}= [/mm] 9,4727 addiert, ergibt sich der richtige Wert
9,4764; dies ist genau [mm] \wurzel[3]{851} [/mm] auf 4 Dezimalen!
ok?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:24 So 28.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
erstmal danke für die Tipps... jetzt hab ichs auch raus....
Ok, und jetzt noch b). Das verstehe ich überhaupt nicht, denn was soll ich hier noch mit dem Differenzenquotienten weiter eingrenzen? Ich kenn doch alle Werte... ich kenne [mm] \Delta [/mm] x, kenn f'(x) und auch f(x). Also, ich denke mal, ich brauche jetzt noch irgendwie eine Fehlerformel, um den Fehler zu berechnen, umwieviel f'(x)* [mm] \Delta [/mm] x von [mm] \Delta [/mm] y abweichen kann, oder?? Aber wie bekomme ich das heraus???
Kann mir da jemand helfen???
Viele Grüße,
Anna
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hallo Anna,
dein Prof ist offensichtlich in den Mittelwertsatz verschossen ...
Betrachten wir die Funktion [mm] f:x\to \wurzel[3]{x} [/mm] im
Intervall von 850 bis 851, dann sagt der Mittelwertsatz,
dass f(851)-f(850)= IntervallLaenge [mm] *f'(x^{\*}), [/mm] wobei [mm] x^{\*}
[/mm]
irgendeine Zahl zwischen 850 und 851 sein kann.
Für die gesuchte Kubikwurzel bekommt man dann:
[mm] \wurzel[3]{851}=\wurzel[3]{850}+1*\bruch{1}{3}*(x^{\*})^{-2/3}
[/mm]
Da wir [mm] x^{\*} [/mm] nicht genau kennen, aber wissen, dass es
zwischen 850 und 851 liegen muss und f' in dem
Intervall monoton ist, muss der Term [mm] 1*\bruch{1}{3}*(x^{\*})^{-2/3}
[/mm]
zwischen [mm] \bruch{1}{3}*(850)^{-2/3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}*(851)^{-2/3} [/mm]
liegen. So liefert der Mittelwertsatz also zwei Schranken
für den gesuchten Wert. Da der angegebene Wert von [mm] \wurzel[3]{850}
[/mm]
schon ein gerundeter Wert ist, kann man natürlich
keinen Wert erwarten, der mehr als 4 gültige
Nachkommastellen aufweist. Wenn man übrigens
die in der Rechnung vorkommenden Potenzen mit
dem Rechner bestimmt, wird die ganze Sache ohnehin
etwas absurd: wir benützen den Rechner, der uns
zwölfstellig genaue Werte für die involvierten Wurzeln
liefert, um eine Wurzel auf 4 Dezimalen genau zu
bestimmen.
Um der Aufgabe gerecht zu werden, dürfte man also
z.B. für [mm] (850)^{-2/3} [/mm] nicht den Rechner nehmen,
sondern von Hand oder allenfalls mit der Loga-
rithmentafel rechnen:
[mm] (850)^{-2/3}=\bruch{850}{\wurzel[3]{850}}=850:9.4727\approx [/mm] .......
Und für [mm] (851)^{-2/3}=\bruch{851}{\wurzel[3]{851}}
[/mm]
müsste man sogar iterativ vorgehen, da ja die [mm] \wurzel[3]{851}
[/mm]
erst bestimmt werden soll ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 29.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Ach, danke. Super-ausführlich... jetzt hab ichs auch verstanden!!!
Viele Grüße,
Anna
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