Näherung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 25.10.2014 | | Autor: | yonca |
Hallo,
und zwar weiß ich nicht genau, ob diese Frage in das Forum über Zahlentheorie gehört, weiß aber nicht genau wo ich die Frage sonst posten soll.
Also ich habe in meinem Text folgende Näherung gefunden
[mm] \left(1-\bruch{1}{p^n} \right)^{\bruch{N-1}{n}} \approx [/mm] 1- [mm] \bruch{N-1}{np^n}
[/mm]
Dabei sind N und p Primzahlen und n ist die kleinste natürliche Zahl für die
[mm] p^n \equiv [/mm] 1 (mod N)
gilt.
Meine Frage dazu ist einfach: wie kann man diese Näherung begründen? Das ist mir nicht ganz klar? Kann mir jemand einen Tipp dazu geben?
Viele Grüße
Yonca
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> Hallo,
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> und zwar weiß ich nicht genau, ob diese Frage in das Forum
> über Zahlentheorie gehört, weiß aber nicht genau wo ich
> die Frage sonst posten soll.
> Also ich habe in meinem Text folgende Näherung gefunden
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{p^n} \right)^{\bruch{N-1}{n}} \approx\ 1- \ \bruch{N-1}{np^n}[/mm]
>
> Dabei sind N und p Primzahlen und n ist die kleinste
> natürliche Zahl für die
>
> [mm]p^n \equiv[/mm] 1 (mod N)
>
> gilt.
> Meine Frage dazu ist einfach: wie kann man diese Näherung
> begründen? Das ist mir nicht ganz klar? Kann mir jemand
> einen Tipp dazu geben?
>
> Viele Grüße
> Yonca
Hallo Yonca,
in die Zahlentheorie gehört die Frage natürlich nur am
Rand. Effektiv geht es im Detail eher um eine Frage im
Bereich Algebra / Analysis.
Genauer: es geht um die Näherung
$\ [mm] (1\,+\,a)^k\ \approx\ 1\,+\,k*a$
[/mm]
(unter der Voraussetzung, dass $\ [mm] |a|\ll [/mm] 1$ )
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Yonca,
die Abschätzung sollte Dich an die ![[]](/images/popup.gif) Bernoullische Ungleichung erinnern.
Zu zeigen ist die Abschätzung leicht über die binomische Formel für höhere Potenzen, sofern über Al-Chwarizmis Angaben hinaus vor allem [mm] |a*k|\ll{1} [/mm] gilt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 26.10.2014 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
vielen Dank schon mal für die Antworten. Leider komme ich aber noch nicht ganz zurecht. Wenn ich die Bernoullische Ungleichung anwende, erhalte ich ja die folgende Ungleichung
[mm] \left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} \ge 1-\bruch{N-1}{np^n}
[/mm]
Hierbei hätten wir ja genau dann Gleichheit, wenn entweder [mm] -\bruch{1}{p^n}=0 [/mm] wäre (was ja nicht sein kann) oder aber [mm] \bruch{N-1}{n}=1 [/mm] ist.
Aber wie kann ich begründen, dass eben beide Seiten der (Un)gleichung ungefähr gleich sind.
Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
Gruß
Yonca!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 26.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo nochmal,
> vielen Dank schon mal für die Antworten. Leider komme ich
> aber noch nicht ganz zurecht. Wenn ich die Bernoullische
> Ungleichung anwende, erhalte ich ja die folgende
> Ungleichung
> [mm]\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} \ge 1-\bruch{N-1}{np^n}[/mm]
>
> Hierbei hätten wir ja genau dann Gleichheit, wenn entweder
> [mm]-\bruch{1}{p^n}=0[/mm] wäre (was ja nicht sein kann) oder aber
> [mm]\bruch{N-1}{n}=1[/mm] ist.
>
> Aber wie kann ich begründen, dass eben beide Seiten der
> (Un)gleichung ungefähr gleich sind.
Hallo,
so lange kein Kriterium angegeben wird, ab welcher Genauigkeit man von "ungefähr gleich" sprechen will, ist diese Frage relativ sinnlos.
Aber: da (N-1)/n eine natürliche Zahl (nennen wir sie k) ist, kannst du den Term [mm]\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{\bruch{N-1}{n}} =\left( 1+ (-\bruch{1}{p^n}) \right)^{k}[/mm]nach dem binomischen Satz ausmultiplizieren.
Die ersten beiden Summenden sind dann [mm] 1-\bruch{N-1}{np^n}[/mm] bzw. [mm] 1-\bruch{k}{p^n}[/mm] wie in der Abschätzung, und die folgenden Summanden haben einen ständigen Vorzeichenwechsel und werden zudem im Nenner immer größer (und zwar tendenziell schneller, als der Zähler durch zunächst wachsende Binomialkoeffizienten wächst.
Gruß Abakus
> Kann mir vielleicht jemand nocheinmal weiterhelfen?
> Gruß
> Yonca!
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