Nadelproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | | Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1 so auf den Einheitwürfel [mm] [0,1]^2 [/mm] des [mm] \IR^2, [/mm] dass der Mittelpunkt von S in [mm] [0,1]^2 [/mm] zum Liegen kommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet S eine der Geraden [mm] \{(x,0)|x\in\IR\} [/mm] oder [mm] \{(x,1)|x\in\IR\}? [/mm] |
Hallo,
würde gerne wissen, wie ihr die Aufgabe lösen würdet bzw wie ich weiter vorgehen muss.
Also mein Ansatz:
Es liegt ne Gleichverteilung auf [mm] $\Omega$ [/mm] vor
mit [mm] $\Omega=\{(x,y,\phi)\in \IR^3, x,y\in[0,1],\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\}$
[/mm]
wobei das Einheitsquadrat mit einem Koordinatensystem versehen wird,
wobei die linke untere Ecke der Ursprung ist, etc.
Ich nehme an, dass der Mittelpunkt S der Nadel auf den Punkt P=(x,y) fällt. [mm] \phi [/mm] gibt den Winkel zwischen der Nadel, dem Mittelpunkt S und dem Lot von S auf die Gerade [mm] \{(x,0), x\in\IR \}.
[/mm]
Damit die obere bzw untere Linie geschnitten wird, muss gelten:
[mm] $y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)$ [/mm] bzw [mm] $1-y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)$
[/mm]
Aber wie kann ich dann noch miteinbringen, dass die geschnittene Linie auch wirklich im Einheitsquadrat liegt. Hatte überlegt, dass über
[mm] $x\ge \tan(\phi)*y$ [/mm] auszudrücken bzw [mm] $x\ge \tan(\phi)*(1-y)$.
[/mm]
Weiß auch allerdings gar nicht, wie ich jetzt weitermachen soll.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Vielen Dank!
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:48 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry!
> Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1 so auf
> den Einheitwürfel [mm][0,1]^2[/mm] des [mm]\IR^2,[/mm] dass der Mittelpunkt
> von S in [mm][0,1]^2[/mm] zum Liegen kommt. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit schneidet S eine der Geraden
> [mm]\{(x,0)|x\in\IR\}[/mm] oder [mm]\{(x,1)|x\in\IR\}?[/mm]
>
> würde gerne wissen, wie ihr die Aufgabe lösen würdet bzw
> wie ich weiter vorgehen muss.
> Also mein Ansatz:
>
>
> Es liegt ne Gleichverteilung auf [mm]\Omega[/mm] vor
> mit [mm]\Omega=\{(x,y,\phi)\in \IR^3, x,y\in[0,1],\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wobei das Einheitsquadrat mit einem Koordinatensystem
> versehen wird,
> wobei die linke untere Ecke der Ursprung ist, etc.
> Ich nehme an, dass der Mittelpunkt S der Nadel auf den
> Punkt P=(x,y) fällt. [mm]\phi[/mm] gibt den Winkel zwischen der
> Nadel, dem Mittelpunkt S und dem Lot von S auf die Gerade
> [mm]\{(x,0), x\in\IR \}.[/mm]
>
> Damit die obere bzw untere Linie geschnitten wird, muss
> gelten:
> [mm]y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)[/mm] bzw [mm]1-y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)[/mm]
Sieht gut aus soweit. Du willst also das Volumen des Koerpers [mm] $\{ (x, y, \phi) \in \Omega \mid 1 - \frac{l}{2} \cos(\phi) < y \vee y < \frac{l}{2} \cos(\phi) \}$ [/mm] berechnen.
> Aber wie kann ich dann noch miteinbringen, dass die
> geschnittene Linie auch wirklich im Einheitsquadrat liegt.
Wie meinst du das? Der Schnittpunkt zwischen dem Stab und den beiden Geraden muss nicht im Einheitsquadrat liegen.
LG Felix
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| Aufgabe | Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1 so auf
den Einheitwürfel [mm][0,1]^2[/mm] des [mm]\IR^2,[/mm] dass der Mittelpunkt
von S in [mm][0,1]^2[/mm] zum Liegen kommt. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit schneidet S eine der Geraden
[mm]\{(x,0)|x\in\IR\}[/mm] oder [mm]\{(x,1)|x\in\IR\}?[/mm] |
> Hallo,
>
> würde gerne wissen, wie ihr die Aufgabe lösen würdet bzw
> wie ich weiter vorgehen muss.
> Also mein Ansatz:
>
>
> Es liegt ne Gleichverteilung auf [mm]\Omega[/mm] vor
> mit [mm]\Omega=\{(x,y,\phi)\in \IR^3, x,y\in[0,1],\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\}[/mm]
>
> wobei das Einheitsquadrat mit einem Koordinatensystem
> versehen wird,
> wobei die linke untere Ecke der Ursprung ist, etc.
> Ich nehme an, dass der Mittelpunkt S der Nadel auf den
> Punkt P=(x,y) fällt. [mm]\phi[/mm] gibt den Winkel zwischen der
> Nadel, dem Mittelpunkt S und dem Lot von S auf die Gerade
> [mm]\{(x,0), x\in\IR \}.[/mm]
>
> Damit die obere bzw untere Linie geschnitten wird, muss
> gelten:
> [mm]y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)[/mm] bzw [mm]1-y<\frac{l}{2}*\cos(\phi)[/mm]
>
> Aber wie kann ich dann noch miteinbringen, dass die
> geschnittene Linie auch wirklich im Einheitsquadrat liegt.
> Hatte überlegt, dass über
> [mm]x\ge \tan(\phi)*y[/mm] auszudrücken bzw [mm]x\ge \tan(\phi)*(1-y)[/mm].
>
> Weiß auch allerdings gar nicht, wie ich jetzt weitermachen
> soll.
>
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
> Vielen Dank!
>
> LG
> Fry
Hallo Fry,
dass diese Aufgabe aus dem Bereich "Hochschule" stammt,
merkt man spätestens beim Begriff "Einheitswürfel des [mm] \IR^2 [/mm] ".
Für normal gebildete Menschen ist das das Einheitsquadrat.
Ferner enthält die Aufgabenstellung insofern eine künstliche
unnötige Komplikation, als dem Leser weisgemacht wird, dass
ein Dreifachintegral nötig sei. Ein Doppelintegral genügt auch,
wenn man sich klar macht, dass es (bei der anzunehmenden
Gleichverteilung) auf die x-Koordinate von S überhaupt nicht
ankommt. Statt dem "2-dimensionalen Einheitswürfel" könnte
man also für die Lage von S ebensogut den durch die Geraden
y=0 und y=1 berandeten Streifen nehmen oder den "Einheits-
würfel [mm] \{y\ |\ 0\le y\le 1\} \subset \IR^1 [/mm] " - für normal Sterbliche die Strecke
mit den Endpunkten (0/0) und (0/1).
Etwas irritierend ist noch, dass der Stab “auf" [mm] [0;1]^2 [/mm] geworfen
werden soll - wo aber dann gleich die Rede davon ist, dass
der Stab offenbar auch darüber hinaus ragen kann. Wie
ist es z.B. wenn S(1/1) herauskommt und der ganze Stab
abgesehen von seinem Mittelpunkt ausserhalb des Quadrates
liegt. Liegt der Stab S dann immer noch "auf" dem Quadrat ?
Der Aufgabentext ist ein Musterbeispiel dafür, wie es gelingt,
eine (übrigens seit Generationen bekannte) Aufgabe durch
vermeintlich wissenschaftliche Terminologie zu einem ziemlich
schwer verdaulichen Ungetüm zu machen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Do 12.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen.
Vielen Dank euch beiden !
Also in der Aufgabenstellung statt ursprünglich:
Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1 so auf
den Einheitwürfel $ [mm] [0,1]^2 [/mm] $ des $ [mm] \IR^2, [/mm] $ dass der Mittelpunkt
von S in $ [0,1] $ zum Liegen kommt.
Habe gedacht, dass die [mm] [0,1]^2 [/mm] meinten, weil keine Koordinate angegeben war.
Wie soll ich denn dann [0,1] verstehen?
Muss ich doch nur zwei Parameter verwenden und die Fläche unterhalb des Graphens von [mm] $y=l/2*\cos(\phi)$ [/mm] berechnen?
LG
Fry
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> Hallo zusammen.
>
> Vielen Dank euch beiden !
>
> Also in der Aufgabenstellung stand ursprünglich:
> Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1
> so auf den Einheitwürfel [mm][0,1]^2[/mm] des [mm]\IR^2,[/mm] dass der
> Mittelpunkt von S in [mm][0,1][/mm] zum Liegen kommt.
> Habe gedacht, dass die [mm][0,1]^2[/mm] meinten, weil keine
> Koordinate angegeben war.
Genau das hätte ich auch gedacht ...
> Wie soll ich denn dann [0,1] verstehen?
damit kann ich auch nichts anfangen
> Muss ich doch nur zwei Parameter verwenden und die Fläche
> unterhalb des Graphen von [mm]y=l/2*\cos(\phi)[/mm] berechnen?
Auf das x kann man jedenfalls verzichten.
> LG
> Fry
Hi Fry,
wenn mich nicht alles täuscht, ist das Ganze
eine (ungeschickte und z.T. irreführende)
Formulierung des bekannten "Buffonschen
Nadelproblems".
Dazu zwei Links:
![[]](/images/popup.gif) Buffon 1
Buffon 2
LG Al-Chw.
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Ich habe jetzt den 2. Link richtig eingesetzt,
damit er wirklich zum gemeinten Dokument führt.
Nachdem ich einen ersten genaueren Blick in dieses
Papier geworfen habe, muss ich doch erhebliche
Vorbehalte anmelden ...
zwei Ausschnitte:
Mit diesem Phänomen beschäftigte sich erstmals Captain C.O. Fox in einem Lazarett, in dem er sich nach einer Verwundung erholte. Zum Zeitvertreib warf er gleich lange Nadeln in zufälliger Weise auf ein Brett, auf welches er zuvor parallele Linien im Abstand der Länge seiner Nadel gezeichnet hatte. Er zählte die Anzahl der Würfe und die Anzahl der Treffer, d.h. die Fälle, bei denen eine geworfene Nadel eine Linie berührt oder geschnitten hatte. Nach 1100 Würfen hatte Fox π auf zwei Stellen hinter dem Komma bestimmt.
Intensiv beschäftigte sich Georges Louis Leclerc Graf de Buffon mit diesem Problem.
Er wurde am 7.9.1707 in Paris geboren und starb am 16.4.1788.
......
......
Dieser war es auch, der das Experiments des Nadelproblems untersuchte und aus diesem Grund das Buffonsche Nadelproblem heißt. Er zeigte, dass sich das Verhältnis von Treffern zu Würfen 2 zu π verhält.
Daraus scheint hervorzugehen, dass Captain Fox (als Erster !) vor Buffon oder doch gleichzeitig mit ihm gelebt haben müsste. Dies trifft aber nicht zu: Fox wurde im amerikanischen Bürgerkrieg, also etwa 100 Jahre nach Buffons Arbeit, verletzt.
Hätte er vor Buffon gelebt, hätte er mit seiner Spielerei mit den Nadeln auch nicht "Pi berechnen" können, denn es war Buffon, der erst den Zusammenhang mit Pi erkannte. Fox war wohl ein Amateurmathematiker, der von der Buffonschen Theorie wusste und während seiner Genesung endlich die Gelegenheit packte, einen Zeitvertreib (Nadeln werfen und protokollieren) mit seinem Hobby Mathematik zu verbinden.
Auch die Art und Weise, wie das berühmt-(berüchtigte) (angebliche) Experiment von Lazzarini kommentiert wird, ist fragwürdig:
Dieses Rätsel des Nadelproblems faszinierte schon immer viele Menschen, wie auch den Mathematiker Mario Lazzarani. Im Jahr 1901 stellte er die Behauptung auf, dass eine 2,5 Zentimeter lange Nadel, die man auf ein Brett mit Parallelen fallen lässt, welche 3 Zentimeter voneinander entfernt sind, in 3408 Fällen die Nadel 1808mal ein Linie berührt. Er erreichte damit die ersten Nachkommastellen von π nämlich 3,1415929, was einer deutlichen Annäherung von π entspricht.
Dass Lazzarini (so hiess der Mann) behauptet haben soll, dass man beim beschriebenen Versuch mit 3408 Nadelwürfen jeweils genau 1808 "Treffer" erzielen würde, ist natürlich blanker Unsinn. So dumm war Lazzarini bestimmt nicht.
Er war nicht dumm, aber vielleicht so etwas wie ein Schlitzohr. Man kann nämlich leicht zeigen, dass seine Zahlenwerte 3408 und 1808 absolut konstruiert sind, nach einer bekannten, guten rationalen Näherung für Pi.
Dass er also die Zahlen im Experiment gewonnen haben soll (wie oft berichtet wird), gehört wohl ins Reich der Legenden. Sollte Lazzarini aber behauptet haben, dass bei 3408 Würfen etwa 1808 mal eine Linie geschnitten würde, dann ist dies eine brauchbare statistische Aussage. Lazzarini hat aber offenbar die Länge der Nadeln mit Absicht so festgelegt (nämlich [mm] \frac{5}{6} [/mm] der Streifenbreite), dass man mit relativ wenigen Würfen eine so hoch genaue Approximation von Pi überhaupt erhalten konnte - wenn man dann auch noch den Zähler des Bruches (also die Anzahl der "Treffer") geeignet "frisierte".
Übrigens: den "Lazzarinischen Bruch" [mm] \frac{1808}{3408} [/mm] kann man vorzüglich kürzen ... und dann kommt man Lazzarinis Trick auf die Spur !
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hey AL,
danke für deine Mühen und deine Kommentare zu dem zweiten Link :).
Sogar die Wkeit für das Ereignis ist mit [mm] 2/\pi [/mm] falsch angegeben.
Gruß
Fry
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> Hey AL,
>
> danke für deine Mühen und deine Kommentare zu dem zweiten
> Link :).
Mühen ? ... kaum ! (ich hab den Luxus, das tun zu dürfen,
was ich gerne möchte ...  )
> Sogar die Wkeit für das Ereignis ist mit [mm]2/\pi[/mm] falsch
> angegeben.
Für den Fall, dass die Länge der Nadeln gleich dem Abstand der
Parallelen ist, passt dies schon ...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Also in der Aufgabenstellung stand ursprünglich:
> > Sie werfen zufällig einen Stab S der Länge 0<l<1
> > so auf den Einheitwürfel [mm][0,1]^2[/mm] des [mm]\IR^2,[/mm] dass der
> > Mittelpunkt von S in [mm][0,1][/mm] zum Liegen kommt.
> > Habe gedacht, dass die [mm][0,1]^2[/mm] meinten, weil keine
> > Koordinate angegeben war.
>
> Genau das hätte ich auch gedacht ...
Ja, ich auch. Ich tippe mal auf einen Tippfehler...
> > Muss ich doch nur zwei Parameter verwenden und die Fläche
> > unterhalb des Graphen von [mm]y=l/2*\cos(\phi)[/mm] berechnen?
>
> Auf das x kann man jedenfalls verzichten.
Wenn man alle drei Parameter verwendet, hat man die Aufgabe erstmal wortwoertlich modelliert, und $x$ faellt beim Auswerten des Integrals mit dem Satz von Fubini sowieso sehr schnell raus. Man kann's aber auch gleich weglassen, wenn man mag (und es richtig begruendet).
Versuch doch einfach mal das Integral auszurechnen.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
vielen Dank !
Versuche gerade jedem, der gerade Stochastik hört, die Aufgabe zu erklären.
Den Satz von Fubini haben die bisher nicht gehabt.
Aber es reicht doch sicher als Begründung, dass man dann bei Hinzunahme von x in [mm] \Omega, [/mm] so rechnen muss:
(man also vom Flächeninhalt zum Volumen übergeht und daher noch mit "(1-0)" multipliziert werden muss)
[mm] \begin{equation*}
P(A)=\frac{\lambda^3(A)}{\lambda^3(\Omega)}=\frac{(1-0)*2*\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{l}{2}*\cos\phi d\phi}{(1-0)^2*(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})}=\frac{2l}{\pi}
\end{equation*}
[/mm]
oder ?
LG
Fry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Fr 13.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey Felix,
>
> vielen Dank !
> Versuche gerade jedem, der gerade Stochastik hört, die
> Aufgabe zu erklären.
> Den Satz von Fubini haben die bisher nicht gehabt.
> Aber es reicht doch sicher als Begründung, dass man dann
> bei Hinzunahme von x in [mm]\Omega,[/mm] so rechnen muss:
>
> (man also vom Flächeninhalt zum Volumen übergeht und
> daher noch mit "(1-0)" multipliziert werden muss)
>
> [mm]P(A)=\frac{\lambda^3(A)}{\lambda^3(\Omega)}=\frac{(1-0)*2*\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{l}{2}*\cos\phi d\phi}{(1-0)^2*(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})}=\frac{2l}{\pi}[/mm]
>
> oder ?
Ja, das stimmt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Fry |
Danke schön.
LG
Fry
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Ich habe noch eine Nachfrage, da ich vor der gleichen Aufgabe sitze.
Wahrscheinlich stehe ich grad total auf dem Schlauch, aber wie kommt man auf diese Bedingung für einen Schnittpunkt? :
[mm] y<\bruch{l}{2}\*cos(\alpha) [/mm] bzw die andere?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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