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| Aufgabe | Sei [mm] X:=(0,\infty) [/mm] und p:X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR [/mm] definiert durch:
[mm] p(x,y):=|x-y|+|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}| [/mm] (x,y [mm] \in \IR)
[/mm]
Beweisen Sie: a) (X,p) ist ein metrischer Raum.
b) (X,p) ist vollständig. |
Hey Leute, also Aufgabe a) war kein Problem aber bei b) schleift's richtig.
Ich hab effektiv keinen Plan, wie ich vorgehen kann. Ich mein, ich weiß, dass der Raum vollständig ist, wenn jede Cauchy-Folge darin konvergiert, aber ich hab keine Ahnung, wie mich das weiterbringt, da ich nich weiß, wie ich das zeigen soll.
Aus der Definition von Konvergenz hat sich da bei mir keine Erleuchtung eingestellt und auch, dass jede Cauchy-Folge nun beschränkt und monoton sein soll, halt ich für problematisch zu zeigen.
Dummerweise hab ich auch keine Variante eines anderen Beweises von unserem Prof, nach der ich analog vorgehen könnte, also brauch ich unbedingt HILFE!!! BITTE!!!^^
Ich mein, ich hab auch schon echt viel überlegt; dummerweise lässt sich aus der Metrik keine Norm ableiten...
Naja, hoffe jedenfalls, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank schonma für eure Mühe.
mfg fia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]X:=(0,\infty)[/mm] und p:X [mm]\times[/mm] X [mm]\to \IR[/mm] definiert
> durch:
> [mm]p(x,y):=|x-y|+|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}|[/mm] (x,y [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Beweisen Sie: a) (X,p) ist ein metrischer Raum.
> b) (X,p) ist vollständig.
> Hey Leute, also Aufgabe a) war kein Problem aber bei b)
> schleift's richtig.
Nimm dir eine Cauchyfolge [mm] $(a_n)_{n\in\IN} \subset [/mm] X$ bzgl. $p$.
Zeige:
a) [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine ganz normale Cauchy-Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit der ueblichen Metrik;
b) [mm] $(\frac{1}{a_n})_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine ganz normale Cauchy-Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit der ueblichen Metrik.
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] der Grenzwert der Folge aus a), und [mm] $\beta$ [/mm] der Grenzwert der Folge aus b).
Zeige:
c) Es gilt [mm] $\alpha \in [/mm] X$.
d) Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert bzgl. $p$ gegen [mm] $\alpha$.
[/mm]
LG Felix
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