Nachweis von Auflösbarkeit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:04 Do 29.05.2008 | | Autor: | kluh |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung [mm] pq^{2} [/mm] auflösbar sind, wobei p, q voneinander verschiedene Primzahlen sind. |
Hallo Leute,
für die obige Aufgabe bräuchte ich einen Tipp, wie ich weitermachen könnte.
Bisher habe ich folgende Erkenntnisse:
Die Ordnung von G ist [mm] pq^{2}, [/mm] d.h. nach dem Satz von Lagrange gibt es Untergruppen von G mit der Ordnung 1, p, q, [mm] q^{2} [/mm] und [mm] pq^{2}. [/mm] Die Untergruppe der Ordnung 1 ist gerade {e}, die der Ordnung [mm] pq^{2} [/mm] gerade G selbst.
Eine Untergruppe U der Ordnung p ist zyklisch, also auch einfach. Damit hat U nur triviale Nullteiler. Damit hat man einen Anfang der Normalteilerkette: {e} <| U
Aber hier bin ich schon am Ende mit meinem Latein. Wenn U Normalteiler von G wäre, hätte man ja schon eine vollständige Kette und damit die Auflösbarkeit gezeigt. Aber ist U normal in G?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 29.05.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Bisher habe ich folgende Erkenntnisse:
> Die Ordnung von G ist [mm]pq^{2},[/mm] d.h. nach dem Satz von
> Lagrange gibt es Untergruppen von G mit der Ordnung 1, p,
> q, [mm]q^{2}[/mm] und [mm]pq^{2}.[/mm]
der satz von lagrange sagt aus, dass wenn es untergruppen gibt, dass diese eine der angegeben ordnungen haben. er macht keine aussage darüber, dass auch jeweils solche untergruppen existieren.
> Die Untergruppe der Ordnung 1 ist
> gerade {e}, die der Ordnung [mm]pq^{2}[/mm] gerade G selbst.
>
> Eine Untergruppe U der Ordnung p ist zyklisch, also auch
> einfach. Damit hat U nur triviale Nullteiler. Damit hat man
> einen Anfang der Normalteilerkette: {e} <| U
gehe die sache besser andersrum an und suche zuerst nach "großen" normalteilern. ich vermuet ihr hattet in letzter zeit die sätze von sylow? damit sollte sich hier dann was machen lassen.
mache eine fallunterscheidung: ob $q > p$ oder $q < p$ und versuche aussagen über die anzahl der $p$- beziehungsweise $q$-sylowgruppen zu machen. wann ist eine solche ein normalteiler?
schau mal, ob du damit weiterkommst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 29.05.2008 | | Autor: | kluh |
Hallo Andreas,
vielen Dank für deine Antwort.
Nach erneutem Hinsehen verstehe ich jetzt, dass der Satz von Lagrange nur eine notwendige Bedingung für die Existenz solcher Untergruppen (mit Ordnung 1, p, q, [mm] q^2, pq^2) [/mm] ist. Verstehe ich jetzt aber den ersten Sylowsatz richtig? Ich denke, dass gerade aus dem ersten Sylowsatz die Existenz der Untergruppen mit diesen Ordnungen (ausgenommen der Ordnungen 1 und [mm] pq^2, [/mm] aber die Existenz dieser Untergruppen ist ja klar) folgt, oder nicht? Das hat zwar mit der eigentlichen Aufgabe nichts mehr zu tun, würde mich aber dennoch interessieren.
Bei der Aufgabe würde ich jetzt folgendermaßen vorgehen:
Die Gruppenordnung ist [mm] pq^2, [/mm] also ist: [mm] s_q|p [/mm] und [mm] p|s_q-1. [/mm] Aus [mm] s_q|p [/mm] folgt, dass [mm] s_q \in [/mm] {1,p}. Aber [mm] p|s_q-1, [/mm] demnach ist [mm] s_q \not= [/mm] p. Also ist [mm] s_q [/mm] = 1, d.h. es genau eine q-Sylowgruppe (3. Sylowsatz). Mit dem zweiten Sylowsatz folgt nun weiter, dass die Untergruppe U mit |U| = [mm] q^2 [/mm] ein Normalteiler von G ist.
Weiter gilt: |G/U| = [mm] \bruch{|G|}{|U|} [/mm] = [mm] \bruch{pq^2}{q^2} [/mm] = p, also primer Ordnung. Damit wird die Faktorgruppe von einem Element erzeugt, ist also zyklisch und damit auch abelsch. In U gibt es den trivialen Normalteiler {e}.
Es gilt: {e} <| U <| G
Weiter haben wir: G/U abelsch und [mm] N/{e}\congN [/mm] ebenfalls abelsch (nach Definition des Normalteilers).
Damit ist G auflösbar.
Stimmt das so? Insbesondere habe ich gar nicht zwischen p < q und p > q unterschieden.
Eine weitere Frage habe ich noch. Ist jede zyklische Gruppe einfach, d.h. folgt aus "zyklisch" direkt "einfach"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 29.05.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
die Sylowsätze geben Dir in diesem Fall tatsächlich die Existenz aller dieser Untergruppen, also zu jeder Potenz eines der Primteiler der Gruppenordnung (die natürlich kleiner oder gleich der auftauchenden Potenz in der Gruppenordnung sein muss) gibt es eine solche Gruppe.
Bei der Anwendung auf die Aufgabe hast Du leider einen Fehler gemacht. Wenn Du Dir die Anzahl der q-Sylowgruppen anguckst, dann weißt Du, dass diese kongruent 1 modulo q ist und dass sie die Gruppenordnung teilt. Da sie kongruent 1 modulo q ist, kann q nicht als Primteiler auftauchen und sie muss p teilen. Damit solltest Du bei der Aufgabe weiterkommen und dann brauchst Du auch wirklich die Fallunterscheidung.
Gruß,
Kyle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 29.05.2008 | | Autor: | kluh |
Hallo Kyle,
leider hab ich nicht so recht verstanden, was du meinst.
Sagt der dritte Sylowsatz nicht aus, dass die Anzahl der q-Sylows p teilen muss und nicht "nur" die ganze Gruppenordnung?
[mm] s_q [/mm] ist die Anzahl der q-Sylows. [mm] s_q [/mm] muss p teilen, d.h [mm] s_q [/mm] kann nur 1 oder p sein. Da [mm] s_q\equiv [/mm] 1 mod p, kann [mm] s_q [/mm] nicht p sein, muss also 1 sein.
Oder verrenne ich mich gerade gedanklich in irgendetwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 29.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sagt der dritte Sylowsatz nicht aus, dass die Anzahl der
> q-Sylows p teilen muss und nicht "nur" die ganze
> Gruppenordnung?
ja.
> [mm]s_q[/mm] ist die Anzahl der q-Sylows. [mm]s_q[/mm] muss p teilen, d.h [mm]s_q[/mm]
> kann nur 1 oder p sein.
das stimmt.
> Da [mm]s_q\equiv[/mm] 1 mod p, kann [mm]s_q[/mm]
> nicht p sein, muss also 1 sein.
es muss [mm] $s_q \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] q$ heißen - hier wird die ganze sache zum modul $q$ betrachtet, also der primzahl, zu der man die sylowgruppen bestimmen will. man kann hier - im allgemeinen - den fall [mm] $s_q [/mm] = p$ also noch nicht ausschließen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Do 29.05.2008 | | Autor: | kluh |
Ah, jetzt habe ich den Fehler auch gesehen. Ich habe anstatt [mm] q|s_q-1
[/mm]
[mm] p|s_q-1 [/mm] betrachtet. Ich mache mir heute Abend weitere Gedanken dazu und komme frühestens morgen wieder mit einem neuen Lösungsvorschlag.
Vielen Dank an die beiden Tippgeber. Ich würde mich freuen, wenn Ihr mich morgen wieder unterstützen könntet.
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