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| Aufgabe | Seien A,B Mengen und [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung. Zeigen sie folgende Implikation [mm] $(a)\Rightarrow [/mm] (b)$:
(a) [mm] $\forall X,Y\subset [/mm] A: [mm] f(X\textbackslash [/mm] Y) = [mm] f(X)\textbackslash [/mm] f(Y)$
(b) [mm] $\forall X\subset [/mm] A: [mm] f^{-1}(f(X)) [/mm] = X$ |
Hallo!
Ich habe Probleme, die Aussage zu beweisen. (a) bedeutet ja, dass f eine injektive Funktion ist (das darf ich aber nicht benutzen, es dient jetzt nur zur Veranschaulichung). Wenn nun zum Beispiel
A -f-> B
a1 ---> b1
a2 ------^
a3 ---> b2
f so beschaffen wäre, und zum Beispiel $X = [mm] \{a_{1},a_{3}\}$, [/mm] wäre $f(X) = [mm] \{b_{1},b_{2}\}$, [/mm] aber [mm] $f^{-1}(f(X)) [/mm] = [mm] \{a_{1},a_{2},a_{3}\}$, [/mm] d.h. es wäre nicht [mm] $f^{-1}(f(X))\subset [/mm] X$.
Mein Beweis teilt sich nun wieder auf in das Zeigen von " [mm] \subset [/mm] " und " [mm] \supset [/mm] ".
" [mm] \subset [/mm] ":
Sei [mm] $a\in f^{-1}(f(X)) [/mm] := [mm] \{a\in A|f(a)\in f(X)\}$.
[/mm]
Daraus folgt meiner Meinung nach [mm] $f(a)\in [/mm] f(X) := [mm] \{f(a)|a\in X\}$,
[/mm]
und daraus wiederum [mm] $a\in [/mm] X$, also wäre [mm] $f^{-1}(f(X)) \subset [/mm] X$.
Aber da muss irgendwas falsch sein, weil ich ja oben an dem Bild gezeigt habe, dass ich die Voraussetzung mit einbeziehen muss, damit das stimmt... Wo habe ich mich vertan?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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Hiho,
> Daraus folgt meiner Meinung nach [mm]f(a)\in f(X) := \{f(a)|a\in X\}[/mm]
Stimmt.
> und daraus wiederum [mm]a\in X[/mm], also wäre [mm]f^{-1}(f(X)) \subset X[/mm].
Nein, das gilt nicht, es heisst nur, dass es noch ein [mm] $b\in [/mm] X$ gibt, so dass $f(a) = f(b) [mm] \in [/mm] f(X)$ liegt, aber noch nicht, dass auch [mm] $a\in [/mm] X$.
Dafür brauchst du die 1. Bedingung.
MFG
Gono.
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Hallo Gonozal_IX,
erstmal danke, dass du mir die Augen geöffnet hast 
> > Daraus folgt meiner Meinung nach [mm]f(a)\in f(X) := \{f(a)|a\in X\}[/mm]
>
> Stimmt.
>
> > und daraus wiederum [mm]a\in X[/mm], also wäre [mm]f^{-1}(f(X)) \subset X[/mm].
>
> Nein, das gilt nicht, es heisst nur, dass es noch ein [mm]b\in X[/mm]
> gibt, so dass [mm]f(a) = f(b) \in f(X)[/mm] liegt, aber noch nicht,
> dass auch [mm]a\in X[/mm].
>
> Dafür brauchst du die 1. Bedingung.
Hmm. Also weiß ich jetzt bereits, dass ein [mm] $b\in [/mm] X$ existiert sodass f(a) = f(b)... Jetzt müsste ich noch zeigen, dass daraus a = b folgt. Schade, dass ich nicht direkt verwenden darf, dass f injektiv ist, dann wäre das ein Kinderspiel.
Muss ich den Beweis vielleicht anders anfangen, damit ich meine gegebene Vorbedingung besser nutzen kann?
Oder geht es so (?):
Angenommen, es würde nicht gelten $a = b$, dann wäre [mm] $\{a\}\not=\{b\}$, [/mm] also:
[mm] $\emptyset \not= f(\{a\}\textbackslash \{b\}) [/mm] = [mm] f(\{a\})\textbackslash f(\{b\})$, [/mm]
woraus [mm] $f(\{a\})\not= f(\{b\})$ [/mm] folgt. Das ist aber ein Widerspruch zu $f(a) = f(b)$. Also ist $a = b$, und somit [mm] $a\in [/mm] X$.
Danke für eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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Nunja, genauer hast du ja sogar mit [mm] $a\not=b$:
[/mm]
[mm] $f(\{a\}) [/mm] = [mm] f(\{b\}) [/mm] = [mm] f(\{a\}\setminus\{b\}) [/mm] = [mm] f(\{a\})\setminus f(\{b\})$
[/mm]
Und daraus würde folgen [mm] $f(\{b\}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $.... Widerspruch.
Ich seh auch nicht, wieso das nicht gehen sollte^^
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Phecda |
Hat jmd eine Idee für die andere Teilmengenrelation also [mm] "\supset"?
[/mm]
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Hm, also X [mm] \subset f^{-1}(f(X)) [/mm] ist trivial, oder net?
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Hallo Gonozal_IX,
wollte mich noch für deine Antwort bedanken!
Hat mir sehr geholfen!
Grüße,
Stefan
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