Nachweis:Isomorphie von Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (R, + , [mm] \cdot [/mm] ) ein Ring. Für a, b [mm] \in [/mm] R werden neue Verknüfungen definiert durch
a [mm] \oplus [/mm] b = a + b - 1
a [mm] \odot [/mm] b = a + b - a [mm] \cdot [/mm] b
Zeige, dass (R, [mm] \oplus [/mm] , [mm] \odot) [/mm] ein Ring ist, der zu ( R, + , [mm] \cdot) [/mm] isomorph ist |
da ich isomorphie zeigen will, muss ich zeigen, dass es eine bijektive abbildung bzw einen Ringisomorphismus zwischen beiden ringen gibt.
wie jedoch stelle ich das an?
sollte ich mir eine abbildung ausdenken und an dieser zeigen, dass sie bijektiv ist?
[Sei f: R1 -> R2 mit f(x) = ..... ]
wenn ja: wie sähe diese aus? ich habe schon ein wenig aber erfolglos gerätselt.
bitte helft
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
du sollst nicht nur zeigen, dass sie bijektiv ist, sie soll zusätzlich auch noch ein Morphismus von Ringen sein.
Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.
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Danke für deine antwort,
ich habe nun an f(x)=x nachgewiesen, dass
(i) f(x [mm] \oplus [/mm] y ) = f(x) + f(y)
(ii) f(x [mm] \odot [/mm] y ) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)
und
dass die abbildung bijektiv ist
aus diesen betrachtungen schließe ich, dass R1 isomorph zu R2 ist.
> Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.
wie bist du darauf gekommen? gibt es einen trick oder ein schema oder haste einfach gut geraten?
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Danke für deine antwort,
ich habe nun an f(x) = -x +1 nachgewiesen, dass
(i) f(x [mm] \oplus [/mm] y ) = f(x) + f(y)
(ii) f(x [mm] \odot [/mm] y ) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)
und
dass die abbildung bijektiv ist
aus diesen betrachtungen schließe ich, dass R1 isomorph zu R2 ist.
> Betrachte mal f(x)=-x+1, das erscheint mir sinnvoll.
wie bist du darauf gekommen? gibt es einen trick oder ein schema oder haste einfach gut geraten?
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Hi,
gut hingeschaut, was die neutralen Elemente angeht 
Ich hatte übrigens f andersrum gemeint, aber hier klappt auch deine Richtung der Abbildung, da f zu sich selbst invers ist.
Du solltest noch dazusagen, dass das Bild eines Rings unter einem Ringhomomorphismus wieder ein Ring ist. Da es hier ein Isomorphismus ist, sind die Ringe isomorph.
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> Hi,
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> gut hingeschaut, was die neutralen Elemente angeht
>
mit diesem tipp kann ich nicht garzuviel anfangen.
die neutralen elemente von (R [mm] \oplus [/mm] , [mm] \odot [/mm] ) sind 1 bzgl [mm] \oplus [/mm] und 1 bzgl [mm] \odot [/mm] .
wie kommst du dadurch zu dem schluss f(x) = -x + 1 ??
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Die stimmen nicht. Eins davon muss 0 sein Überleg mal, auf was 1 (neutrales Element in $(R,+,*)$ ) abgebildet werden muss.
Außerdem kannte ich von irgendwoher noch den Isomorphismus zwischen Ringen mit ähnlich definierter Addition / Multiplikation, der war dem auch ähnlich.
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