Nachweis Binomialkoeffizienten < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen Sie die folgenden Aussagen ueber Binomialkoeffizienten nach:
n ueber k-1 = [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * n+1 ueber k , fuer alle n, k € N k [mm] \le [/mm] n + 1 |
Hi,
ich hoffe, dass die Kombinatorik der richtige Bereich ist fuer diese Frage. Ich studiere zur Zeit im ersten Semester Maschinenbau und habe mit der Mechanik (Vektorrechnung) kaum Probleme. Allerdings habe ich den Begriff der Fakultaet das erste mal gehoert und komme nicht so richtig in den Stoff rein.
Ich habe die Aufgabenstellung mal aufgeschrieben und bin soweit gekommen:
= [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}
[/mm]
Das wars auch. Konnte somit nur eine Formel anwenden. Ich verstehe nich so ganz, wie ich weiterrechnen soll? Klar ich arbeite auf einen Nachweis hin und weiss ja auch, wie der Term spaeter aussehen soll... aber wie darf ich diese Fakultaeten ueberhaupt verrechnen? Sollte ich nach irgendwelchen Moeglichkeiten suchen um den Term zu kuerzen oder doch erweiter und dann einfach ausmultiplizieren?
Ich hoffe ihr habt paar Tipps fuer mich, da gerade dieser Teil mir einige Kopfschmerzen bereitet. Vll findet sich jemand, der so nett ist und mir das mal fuer "Dumme" erklaert, bzw. fuer Leute, die mit der Stochastik noch nie etwas am Hut gehabt haben.
Ich moechte mich bereits jetzt im voraus bedanken!
MFG Tim
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Hallo evilmaker!
> Weisen Sie die folgenden Aussagen ueber
> Binomialkoeffizienten nach:
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> n ueber k-1 = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] * n+1 ueber k , fuer alle n, k
> € N k [mm]\le[/mm] n + 1
"n über k" kannst du übrigens so schreiben: [mm] \vektor{n\\k} [/mm] (beachte die Eingabehilfen unter dem Eingabefenster oder klicke auf die Formel um den Quelltext zu sehen)
> Ich habe die Aufgabenstellung mal aufgeschrieben und bin
> soweit gekommen:
>
> = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}[/mm]
Jo, das ist erstmal nur die Definition des Binomialkoeffizienten. Aber warum hast du sie nicht links und rechts angewandt? Mach das mal. Und dann brauchst du eigentlich nur noch folgende "Regel": n!=n*(n-1)!. Diese kannst du dir selbst beweisen, indem du aufschreibst, was es bedeutet:
n!=1*2*3*...*(n-1)*n
und
n*(n-1)!=n*(1*2*3*...*(n-1))
Das musst du hier dann zweimal anwenden, dann nur noch kürzen, und dann steht's schon da. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
vielen Dank fuer deine Hilfe, aber so wirklich schlau werde ich noch nicht aus der Aufgabe. Also n! = n * (n-1)!, daraus folgt fuer mich:
[mm] \bruch{n*(n-1)!}{k-1*(n-k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)!}{k*((n+1)-k)!}
[/mm]
Hmm super und jetzt ? Kann ich die Fakultaeten irgendwie ausmultiplizieren? Gelten da alle gaengigen Mathegesetze oder muss ich da irgendwas beachten? Stehe total auf dem Schlauch.
Vielen Dank im voraus.
MFG Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo Bastiane,
>
> vielen Dank fuer deine Hilfe, aber so wirklich schlau werde
> ich noch nicht aus der Aufgabe. Also n! = n * (n-1)!,
> daraus folgt fuer mich:
>
> [mm]\bruch{n*(n-1)!}{k-1*(n-k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{k}{n+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{(n+1)!}{k*((n+1)-k)!}[/mm]
>
> Hmm super und jetzt ?
Seh das doch nicht immer so eng. Du kannst $n$ auch durch $n + 1$ ersetzen in der Formel, die dir Bastiane gegeben hat, dann bekommst du z.B. $(n + 1)! = (n + 1) [mm] \cdot [/mm] ((n + 1) - 1)!$.
Und genauso kannst du $n$ noch durch andere Sachen ersetzen...
> Kann ich die Fakultaeten irgendwie
> ausmultiplizieren? Gelten da alle gaengigen Mathegesetze
> oder muss ich da irgendwas beachten? Stehe total auf dem
> Schlauch.
Nun, du kannst etwa $n ! = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] i$ schreiben. Damit ist z.B. (mit $n [mm] \ge [/mm] k$) [mm] $\frac{n!}{k!} [/mm] = [mm] \frac{\prod_{i=1}^n i}{\prod_{j=1}^k j} [/mm] = [mm] \frac{\prod_{i=1}^k i \cdot \prod_{i=k+1}^n i}{\prod_{j=1}^k j} [/mm] = [mm] \prod_{i=k+1}^n [/mm] i$.
LG Felix
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Hi,
sorry aber so einfach ist das nicht fuer jemanden, der mit der Kombinatorik noch nie etwas am Hut gehabt hat.
Ich hab es versucht mir einfach mal einfacher zu machen und habe (n+1 ueber k) genommen und versucht einfach nur diesen Term zu kuerzen.
Folgendes kommt ja raus:
[mm] \bruch{n+1!}{k!*((n+1)-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)*((n+1)-1)!}{k!(n+1-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1) * n!}{???} [/mm] --> Der Nenner ist das Problem! Wie kann ich denn dort die Klammer (wegen dem k) auseinander ziehen um kuerzen zu koennen?
Gebt mir doch bitte ein Beispiel, damit ich das mal sehe und nicht nur Abstrakt lesen kann... ich muss es ja definitiv umformen damit ich etwas kuerzen kann!
MFG Tim
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Hallo evilmaker!
> [mm]\bruch{n+1!}{k!*((n+1)-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)*((n+1)-1)!}{k!(n+1-k)!}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1) * n!}{???}[/mm]
> --> Der Nenner ist das Problem! Wie kann ich denn dort die
> Klammer (wegen dem k) auseinander ziehen um kuerzen zu
> koennen?
An dem Nenner kannst du da in der Tat nicht wirklich was ändern. Aber du hast ja einen Teil auch vergessen. Vor allem hast du auch nicht auf meine Frage reagiert, warum du nur die rechte Seite des Gleichheitszeichens umgeformt hast. Versuche doch mal, die Ausgangsgleichung:
[mm] $\vektor{n\\k-1}=\frac{k}{n+1}*\vektor{n+1\\k}$
[/mm]
so umzuformen, wie wir dir jetzt schon gesagt haben. Sowohl links als auch rechts meinen Tipp anwenden und dann kürzen, was man kürzen kann.
Und mit Kombinatorik hat das nur entfernt was zu tun, da kommt nämlich diese Formel her bzw. man kann sie dort anwenden. Aber das, was du machen sollst, ist ganz normales rechnen, wie man es in der Schule lernt. Wenn dich die Fakultäten verwirren, dann schreibe sie "aus", also mit Pünktchen dazwischen, denn du weißt ja nicht, wie viele Elemente du aufschreiben musst.
Ach ja, und benutze doch bitte auch für die "n über k" den Formeleditor!
Viele Grüße
Bastiane
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