Nabla Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 04.05.2010 | | Autor: | alina00 |
| Aufgabe | Es sei U [mm] \in [/mm] R3 offen und F : U [mm] \to [/mm] R3 ein zweimal partiell differenzierbares Vektorfeld. Man verifiziere die
Identität. [mm] \Delta [/mm] x [mm] (\Delta [/mm] x F) = [mm] \Delta(\Delta*F)-\Delta [/mm] F |
Also das alles nur mit dem umgedrehten Dreieck, also dem Nabla, ich habe das hier in der Formalsammlung leider nicht gefunden. Ich habe irgendwie gar keine Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll. Nabla Operator das sind ja die partiellen Ableitungen als Vektor geschrieben, man könnte auch sagen gradient. Doch was bedeutet die Aufgabe, was soll ich hier denn machen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Es sei U [mm]\in[/mm] R3 offen und F : U [mm]\to[/mm] R3 ein zweimal partiell
> differenzierbares Vektorfeld. Man verifiziere die
> Identität. [mm]\Delta[/mm] x [mm](\Delta[/mm] x F) =
> [mm]\Delta(\Delta*F)-\Delta[/mm] F
> Also das alles nur mit dem umgedrehten Dreieck, also dem
> Nabla, ich habe das hier in der Formalsammlung leider nicht
> gefunden. Ich habe irgendwie gar keine Ahnung, was ich hier
> überhaupt machen soll. Nabla Operator das sind ja die
> partiellen Ableitungen als Vektor geschrieben,
Das ist richtig.
> man könnte
> auch sagen gradient.
Das muss nicht unbedingt sein. [mm] \nabla [/mm] ist ein formaler Differentialoperator, mit dem sich die Operationen grad, div und rot in einheitlicher Form schreiben lassen.
Deutlicher: Sei f=f(x,y,z) ein Skalarfeld und [mm] \vec{v}=\vec{v}(x,y,z)=(v_{x},v_{y},v_{z}) [/mm] ein Vektorfeld, so hat man:
[mm] \nabla{f}=grad{f} [/mm] (Produkt aus [mm] \nabla [/mm] und f),
[mm] \nabla*\vec{v}=div{\vec{v}} [/mm] (Skalarprodukt aus [mm] \nabla [/mm] und [mm] \vec{v}) [/mm] und
[mm] \nabla\times\vec{v}=rot\vec{v} [/mm] (Vektor- oder Kreuzprodukt aus [mm] \nabla [/mm] und [mm] \vec{v})
[/mm]
> Doch was bedeutet die Aufgabe, was
> soll ich hier denn machen??
Du sollst hier versuchen, unter Zuhilfenahme vektoranalytischer, bzw. vektoralgebraischer Beziehungen die Gültigkeit der Gleichung zeigen. Denke dabei vielleicht auch mal an den Entwicklungssatz.
Vorsicht mit der Schreibweise. Es gilt: [mm] \Delta{f}:=div(grad f)=\nabla\nabla f=\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\bruch{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 04.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Ok, das habe ich versucht, aber irgendwie komme ich auf nichts und zwar habe ich dann auf der rechten Seite der Gleichung einen Vektor - Skalar bekommen. Jetzt kann ich nichts damit machen, weil das letzte Dreieck ist der La Place Operator und das ist ja ein Skalar. Nabla(Nabla*F)-La Place = Vektor - Skalar. Was mache ich denn jetzt damit??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, das habe ich versucht, aber irgendwie komme ich auf
> nichts und zwar habe ich dann auf der rechten Seite der
> Gleichung einen Vektor - Skalar bekommen. Jetzt kann ich
> nichts damit machen, weil das letzte Dreieck ist der La
> Place Operator und das ist ja ein Skalar. Nabla(Nabla*F)-La
> Place = Vektor - Skalar. Was mache ich denn jetzt damit??
Das ist nicht richtig. F ist ein Vektor, und daher ist [mm] $\Delta [/mm] F$ auch ein Vektor, nämlich [mm] $\Delta$ [/mm] einzeln auf jede Komponente von F angewandt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 10.05.2010 | | Autor: | alina00 |
Dankeschön, hat jetzt geklappt
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