NST,Extrema,Wertebereich f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Di 10.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zur Funktion f(x)=sin(x)+2*cos(x)+1 die Nullstellen und Extremstellen sowie den Wertebereich. |
Habe da Probleme mit den Nullstellen,
kann ich die Funktion überhaupt nach x auflösen oder muss ich die Nullstellen zum Beispiel über Newton Iteration ausrechnen?
Bei den Extremstellen, dürfte ich das selbe Problem haben...
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie zur Funktion f(x)+2*cos(x)+1 die Nullstellen
> und Extremstellen sowie den Wertebereich.
> Habe da Probleme mit den Nullstellen,
> kann ich die Funktion überhaupt nach x auflösen oder muss
> ich die Nullstellen zum Beispiel über Newton Iteration
> ausrechnen?
Quatsch ! Man lernt doch in der Schule schon, an welchen Punkten der Cosinus den Wert [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] annimmt. Bemühe mal eine Formelsammlung
>
> Bei den Extremstellen, dürfte ich das selbe Problem
> haben...
Auch Quatsch ! Was sind die Nullstellen des Sinus ?
FRED
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 10.03.2009 | | Autor: | tedd |
Ach verdammt!
Sorry!
Hab mich bei der Aufgabenstellung verschrieben!
Richtig müsste es heissen:
f(x)=sin(x)+2*cos(x)+1
Dein Beitrag hat mich aber trotzdem schlauer gemacht.
Einmal müssten Nullstellen auftreten, wo [mm] \cos(x)=0 [/mm] und [mm] \sin(x)=-1 [/mm] ist,
also [mm] x=3*\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi
[/mm]
aber es gibt doch sicher noch mehr Nullstellen...
Sorry nochmal für den vertipper...
Danke und gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 10.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Ach verdammt!
> Sorry!
> Hab mich bei der Aufgabenstellung verschrieben!
>
> Richtig müsste es heissen:
>
> f(x)=sin(x)+2*cos(x)+1
>
> Dein Beitrag hat mich aber trotzdem schlauer gemacht.
>
> Einmal müssten Nullstellen auftreten, wo [mm]\cos(x)=0[/mm] und
> [mm]\sin(x)=-1[/mm] ist,
>
> also [mm]x=3*\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi[/mm]
>
> aber es gibt doch sicher noch mehr Nullstellen...
Hallo, es gilt [mm] sin^{2}x=1-cos^{2}x [/mm] und damit |sin [mm] x|=\wurzel{1-cos^{2}x}
[/mm]
Ersetze also damit sin x, stelle nach dieser Wurzel um und quadriere. Du erhältst eine quadratische Gleichung mit der "Variablen" cos(x).
Am Ende musst du noch eine Probe zu den möglichen Lösungen machen, weil das Quadrieren keine äquivalente Umformung ist und Scheinlösungen mit reinbringt.
Gruß Abakus
> Sorry nochmal für den vertipper...
>
> Danke und gruß,
> tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 10.03.2009 | | Autor: | tedd |
Ahh okay....
Also kann ich schreiben:
[mm] \pm\sqrt{1-\cos^2(x)}+2*\cos(x)+1=0
[/mm]
[mm] \gdw 2*\cos(x)+1=\mp\sqrt{1-cos(x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4*\cos^2(x)+4*\cos(x)+1=1-\cos^2(x)
[/mm]
[mm] \gdw 5*\cos^2(x)+4*\cos(x)=0
[/mm]
[mm] \gdw \cos(x)*(5*\cos(x)+4)=0
[/mm]
Also einmal
[mm] \cos(x)=0 \gdw x=\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi
[/mm]
und
[mm] \cos(x)=-\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\arccos(-\bruch{4}{5})+2*k*\pi
[/mm]
Die Probe (mit Taschenrechner ausgerechnet, weil [mm] arccos(-\bruch{4}{5}) [/mm] was "krummes" ergibt), dass [mm] x=-arccos(-\bruch{4}{5})+2*k*\pi [/mm] keine gültige Lösung ist....
Ebenso ist [mm] x=\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi [/mm] keine gültige Lösung...
Also bleibt nur:
[mm] x=+arccos(-\bruch{4}{5})+2*k*\pi
[/mm]
und
[mm] x=\bruch{\pi}{2}+(2*k+1)*\pi
[/mm]
?
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 10.03.2009 | | Autor: | abakus |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo tedd,
> Ach verdammt!
> Sorry!
> Hab mich bei der Aufgabenstellung verschrieben!
>
> Richtig müsste es heissen:
>
> f(x)=sin(x)+2*cos(x)+1
>
> Dein Beitrag hat mich aber trotzdem schlauer gemacht.
>
> Einmal müssten Nullstellen auftreten, wo [mm]\cos(x)=0[/mm] und
> [mm]\sin(x)=-1[/mm] ist,
>
> also [mm]x=3*\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi[/mm]
>
> aber es gibt doch sicher noch mehr Nullstellen...
> Sorry nochmal für den vertipper...
[mm]f\left(x\right)=\sin\left(x\right)+2*\cos\left(x\right)+1[/mm] kann man noch etwas zusammnfassen:
[mm]f\left(x\right)=\sin\left(x\right)+2*\cos\left(x\right)+1=A*\sin\left(x+\varphi)+1[/mm]
Nun, wie geht das?
[mm]\sin\left(x\right)+2*\cos\left(x\right)=A*\sin\left(x+\varphi\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \sin\left(x\right)+2*\cos\left(x\right)=A*\sin\left(x)*\cos\left(\varphi\right)+A*\sin\left(\varphi\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhält man
[mm]A*\cos\left(\varphi)=1[/mm]
[mm]A*\sin\left(\varphi)=2[/mm]
woraus sich [mm]\tan\left(\varphi\right)=2[/mm] und [mm]A=\wurzel{5}[/mm] ergeben.
Damit ist die Gleichung
[mm]A*\sin\left(x+\varphi\right)+1=0[/mm]
zu lösen.
>
> Danke und gruß,
> tedd
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 12.03.2009 | | Autor: | tedd |
Stimmt!
Danke für die Hilfe.
Gruß,
ted
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