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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 03.03.2005 | | Autor: | mossox |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben sei [mm] f_t(x) = t * \cdot e^x - e^{2x} [/mm] mit [mm] x \in IR [/mm]
a) Untersuche [mm] K_t [/mm] auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
b) Bestimme den geometrischen Ort der Extrempunkte aller Kurven [mm] K_t [/mm].
Zur a habe ich bereits Lösungen, bin mir aber unsicher. Zu b fehlt mir ein Ansatz.
Danke im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Do 03.03.2005 | | Autor: | silkiway |
> Gegeben sei [mm]f_t(x) = t * \cdot e^x - e^{2x}[/mm] mit [mm]x \in IR[/mm]
> a) Untersuche [mm]K_t[/mm] auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-,
> Tief- und Wendepunkte sowie auf Asymptoten.
>
> b) Bestimme den geometrischen Ort der Extrempunkte aller
> Kurven [mm]K_t [/mm].
>
> Zur a habe ich bereits Lösungen, bin mir aber unsicher.
Wenn du bereits Lösungen hast dann schreibe sich doch hier rein, wir können dir dann sagen ob sie richtig sind oder was du verändern musst
>Zu b fehlt mir ein Ansatz.
du musste erst eine Lösung zu a) haben bevor du b) lösen kannst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 03.03.2005 | | Autor: | mossox |
Also für die Nulstelle(n) habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.
Für t = 2 ist x beliebig
Für t <> 2 ist x = 0 eine Nullstelle
Extrema
Für t = 4 ist x beliebig
Für t <> 4 ist x = 0 eine mögliche Extremstelle
Für t < 4 liegt ein Maximum vor
Für t > 4 liegt ein Minimum vor
Ehrlich gesagt bin ich mir sehr sehr unsicher, weshalb ich die Punkte dann auch nicht berechnet habe. Habe seit 1 Jahr wieder ne Schar untersucht, weiß die Vorgehensweise nicht mehr, sorry.
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> Also für die Nulstelle(n) habe ich eine Fallunterscheidung
> gemacht.
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> Für t = 2 ist x beliebig
Wie kommst du darauf?
Die Gleichung war doch: [mm] f_{t}(x) [/mm] = [mm] t\cdot e^x [/mm] - [mm] e^{2x} [/mm]
Mit t=2 wird [mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] 2\cdot e^x [/mm] - [mm] e^{2x} [/mm]
Du sagt nun x sei beliebig: z.B. x=ln(3) --> [mm] f_{2}(ln(3)) [/mm] = [mm] 2\cdot [/mm] e^ln(3)- [mm] e^{2ln(3)} [/mm] = [mm] 2\cdot3- e^{2ln(3)} =6-(e^{ln(3)})^2=6-3^2=6-9 \not=0
[/mm]
um die Nullstelle zu erhalten musst du t [mm] \cdot e^x [/mm] - [mm] e^{2x}=0 [/mm] nach x auflösen, t bleibt dabei als eine Variable in der Nullstelle erhalten, denn es handelt sich ja um verschiedene Kurven, von denen ja alle verscheidene Nullstellen haben können.
zum Auflösen könnte dir helfen:
[mm] a^{x+y}=a^x*a^y
[/mm]
[mm] a^{x-y}=a^x/a^y
[/mm]
[mm] a^xy=(a^x)^y
[/mm]
[mm] ln(e^x)=x
[/mm]
e^ln(x)=x
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
ln(x/y)=ln(x)-ln(y)
[mm] ln(x^y)=y*ln(x)
[/mm]
> Für t <> 2 ist x = 0 eine Nullstelle
s.o.
wie ist deine Ableitung?
> Extrema
>
> Für t = 4 ist x beliebig
> Für t <> 4 ist x = 0 eine mögliche Extremstelle
>
> Für t < 4 liegt ein Maximum vor
> Für t > 4 liegt ein Minimum vor
>
> Ehrlich gesagt bin ich mir sehr sehr unsicher, weshalb ich
> die Punkte dann auch nicht berechnet habe. Habe seit 1 Jahr
> wieder ne Schar untersucht, weiß die Vorgehensweise nicht
> mehr, sorry.
kenn das problem, ist das problem vorm abi ;)
lg,Silke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 03.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, mossox,
Silkyway hat Recht: Erst was liefern, dann was kriegen!
Weitere Frage: Wie sieht's mit der Parametergrundmenge aus? t [mm] \in [/mm] R oder [mm] t\not=0 [/mm] oder [mm] t\inR^{+} [/mm] ???
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Do 03.03.2005 | | Autor: | mossox |
Definitionsmenge von t ist nicht gegeben, nur von x ist, wie es oben steht.
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Hi, mossox,
also: so'n bisschen kommt mir Dein "Lösungsvorschlag" wie ein "Alibivorschlag" vor!
Ich will mal versuchen, Dir zu helfen:
a)
(1) Nullstellen: f(x) = 0 <=> [mm] e^{x}*(t-e^{x}) [/mm] =0
Demnach: [mm] e^{x}=t
[/mm]
1. Fall: [mm] t\le0: [/mm] keine Lösung (drum meine Frage nach der Parametergrundmenge!)
2.Fall: t>0: x=ln(t).
(2) 1.Ableitung: [mm] f'(x)=t*e^{x}-2e^{2x} [/mm] = [mm] e^{x}*(t-2e^{x})
[/mm]
Ähnlich wie oben: Keine Lösung für [mm] t\le0
[/mm]
Für t>0: x=ln(0,5*t). (HP oder TP: selber rausfinden!)
(3) 2.Ableitung: f''(x) = [mm] t*e^{x}-4e^{2x} [/mm] = [mm] e^{x}*(t-4e^{x})
[/mm]
Lösung analog zu (2).
(4) Asymptoten: x-Achse (y=0) für x [mm] \to -\infty.
[/mm]
b)
(I) x=ln(0,5t); (t>0)
(II) [mm] y=0,25t^{2}
[/mm]
(I) nach t auflösen und in (II) einsetzen!
Also: [mm] t=2e^{x} [/mm] in (II) einsetzen: y= [mm] e^{2x}
[/mm]
(Nachrechnen, weil: Nicht mit voller Konzentration bei der Sache!)
mfG!
Zwerglein
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