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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Multivariable optimization
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Multivariable optimization: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 So 11.10.2009
Autor: toteitote

Aufgabe
Show that [mm] f(x,y)=Ax^ay^b-px-qy-r [/mm] (where A,a,b are positive constants, and p,q and r are arbitrary constants) is concave for [mm] x\ge0, y\ge0 [/mm] provided at [mm] a+b\le1 [/mm]

Hallo, allerseits!

Ich habe rausgefunden, dass [mm] f''_{11}\le0 [/mm] und [mm] f''_{22}\le0 [/mm] sind.

dann habe ich die Ableitungen in die Nachweisformel für Maxima eingesetzt und versucht, aufzulösen:

[mm] f''_{11}f''_{22}-(f''_{12})^2 [/mm]

[mm] =(-y^bAa^2x^{a-2})(-Ax^ab^2y^{b-2})-(Aax^{a-1}by^{b-1})^2 [/mm]

[mm] =(y^{b^2-2}A^2a^2x^{a^2-2}b^2)-(A^2a^2x^{2a-2}b^2y^{2b-2}) [/mm]

[mm] =A^2a^2b^2x^{-2}y^{-2}(y^{b^2}x^{a^2}-x^{2a}y^{2b}) [/mm]


Weiter komme ich nicht und die Ergebnisse im Buch erzählen mir was von folgender Gleichung:

[mm] f''_{11}f''_{22}-(f''_{12})^2=abA^2x^{2a-2}y^{2b-2}[1-(a+b)] [/mm]

Wie zur Hölle kommen die darauf? Kann mir das jemand beantworten? Danke, Tiemo

        
Bezug
Multivariable optimization: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 11.10.2009
Autor: rainerS

Hallo Tiemo!

> Show that [mm]f(x,y)=Ax^ay^b-px-qy-r[/mm] (where A,a,b are positive
> constants, and p,q and r are arbitrary constants) is
> concave for [mm]x\ge0, y\ge0[/mm] provided at [mm]a+b\le1[/mm]
>  Hallo, allerseits!
>  
> Ich habe rausgefunden, dass [mm]f''_{11}\le0[/mm] und [mm]f''_{22}\le0[/mm]
> sind.
>
> dann habe ich die Ableitungen in die Nachweisformel für
> Maxima eingesetzt und versucht, aufzulösen:
>  
> [mm]f''_{11}f''_{22}-(f''_{12})^2[/mm]
>  
> [mm]=(-y^bAa^2x^{a-2})(-Ax^ab^2y^{b-2})-(Aax^{a-1}by^{b-1})^2[/mm]

[notok]

[mm] = (\red{+}y^bA\red{a*(a-1)}x^{a-2})(\red{+}Ax^a\red{b(b-1)}y^{b-2})-(Aax^{a-1}by^{b-1})^2[/mm]

> [mm]=(y^{b^2-2}A^2a^2x^{a^2-2}b^2)-(A^2a^2x^{2a-2}b^2y^{2b-2})[/mm]

[notok]

Wie kommst du denn auf das [mm] $a^2$ [/mm] bzw [mm] $b^2$ [/mm] im Exponenten. Da steht

[mm] = A^2 a(a-1) b(b-1) y^{2b-2}x^{2a-2} - A^2 a^2 b^2 x^{2a-2}y^{2b-2} = A^2x^{2a-2}y^{2b-2} ab(1-b-a)[/mm]

Viele Grüße
  Rainer
Bezug
                
Bezug
Multivariable optimization: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mo 12.10.2009
Autor: toteitote

Hallo und vielen dank für die antwort.
= [mm] A^2x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm] ab(1-b-a)

Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Bei mir fehlt eine 1.

= [mm] A^2 [/mm] a(a-1) b(b-1) [mm] y^{2b-2}x^{2a-2} [/mm] - [mm] A^2 a^2 b^2 x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm]

= [mm] A^2abx^{2a-2}y^{2b-2}((b-1)(a-1)-ab) [/mm]

= [mm] A^2x^{2a-2}y^{2b-2} [/mm] ab(-(b+a))

Wo habe ich die denn verschluckt? Mfg tiemo
Bezug
                        
Bezug
Multivariable optimization: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mo 12.10.2009
Autor: fred97


> Hallo und vielen dank für die antwort.
> = [mm]A^2x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm] ab(1-b-a)
>  
> Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Bei mir fehlt
> eine 1.
>  
> = [mm]A^2[/mm] a(a-1) b(b-1) [mm]y^{2b-2}x^{2a-2}[/mm] - [mm]A^2 a^2 b^2 x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm]
>
> = [mm]A^2abx^{2a-2}y^{2b-2}((b-1)(a-1)-ab)[/mm]
>  
> = [mm]A^2x^{2a-2}y^{2b-2}[/mm] ab(-(b+a))

Es ist (b-1)(a-1)-ab= ab -b-a+1-ab = 1-a-b

FRED



>  
> Wo habe ich die denn verschluckt? Mfg tiemo

Bezug
                                
Bezug
Multivariable optimization: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mo 12.10.2009
Autor: toteitote

oh mann.... thx
Bezug
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