Multiplikativität < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 16.05.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei multiplikative zahlentheoretische Funktionen $f$ und $g$. Beweisen Sie, dass die durch
[mm] $(f\ast g)(n)\equiv\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$
[/mm]
mit [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gegebene Funktion multiplikativ ist. |
Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe an einer Stelle nicht weiter, vielleicht hat ja jemand einen Tip für mich.
Für zwei natürliche Zahlen [mm] $n,m\in\mathbb{N}$ [/mm] betrachte man [mm] $(f\ast g)(n\cdot [/mm] m)$. Die Zahlen $n$ und $m$ seien in ihrer kanonischen Primfaktorzerlegung
[mm] $n\equiv\prod_{i=1}^r p_i^{j_i}$ [/mm] und
[mm] $m\equiv\prod_{i=1}^r p_i^{k_i}$ [/mm] gegeben. $d$ bezeichne einen Teiler von [mm] $n\cdot [/mm] m$ mit [mm] $d\equiv\prod_{i=1}^r p_i^{l_i}$ [/mm] und [mm] $1\leq l_i \leq j_i+k_i$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\sum_{d|n\cdot m}f(d)g\left(\frac{n\cdot m}{d}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{d|n\cdot m}f(\prod_{i=1}^r p_i^{l_i})g\left(\frac{\prod_{i=1}^r p_i^{j_i+k_i}}{\prod_{i=1}^r p_i^{l_i}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{d|n\cdot m}f(\prod_{i=1}^r p_i^{l_i})g\left(\prod_{i=1}^r p_i^{j_i+k_i-l_i}\right)$
[/mm]
Mit der Mulplikativität der Funktionen $f$ und $g$ folgt nun:
[mm] $=\sum_{d|n\cdot m}\prod_{i=1}^r \left( f\left( p_i^{l_i}\right)g\left(p_i^{j_i+k_i-l_i}\right)\right)$
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich leider nicht weiter, ich könnte jetzt die Summe über alle Teiler hinschreiben, das würde dann
[mm] $=\sum_{l_1=0}^{k_1+j_1}\ldots\sum_{l_r=0}^{k_r+j_r}\prod_{i=1}^r \left( f\left( p_i^{l_i}\right)g\left(p_i^{j_i+k_i-l_i}\right)\right)$
[/mm]
ergeben. Weiß aber nicht, ob das überhaupt der richtige Weg ist (insbesondere bin ich mir nicht sicher, ob ich $d$ so wählen soll).
Vielen Dank für Eure Hinweise und viele Grüße
Gregor
|
|
| |
|
Hallo Gregor,
noch schnell eine Antwort bevor ich los muss. ich denke, dass du es dir zu schwer machst. Warum wechselst du überhaupt auf die Prinzerlegung?
Also konkret:
m,n in [mm] \N. [/mm] Es gilt ggt(m,n) = 1 (denn nur für diese m,n musst du die Multiplikativität zeigen).
Es gilt:
[mm] \sum_{d|n\cdot m}f(d)g\left(\frac{n\cdot m}{d}\right) [/mm] =
[mm] \sum_{d_{1}|n , d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left(\frac{n\cdot m}{d_{1}d_{2}}\right)
[/mm]
Wie verhalten sich denn die Teiler [mm] d_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] zueinander, wenn das ggt(m,n) = 1 ist?
Hilft dir das was?
Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 16.05.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Steffen,
vielen Dank für den Hinweis. Der Beweis sähe dann so aus:
Ich betrachte $n,m$ mit $ggT(n,m)=1$. Ein Teiler $d$ kann geschrieben werden als Produkt zweier Teiler [mm] $d_1$ [/mm] von $n$ und [mm] $d_2$ [/mm] von $m$.
Damit gilt:
[mm] $\sum_{d|n\cdot m}f(d)g\left(\frac{n\cdot m}{d}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{d_1|n,d_2| m}f(d_1\cdot d_2)g\left(\frac{n\cdot m}{d_1\cdot d_2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{d_1|n,d_2| m}f(d_1\cdot d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\cdot \frac{m}{d_2}\right)$
[/mm]
Die Teiler [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] sind teilerfremd, denn wären sie nicht teilerfremd, so gäbe es einen gemeinsamen Teiler $d'$. Dieser würde dann [mm] $n\cdot [/mm] m$ teilen. Mit $ggT(n,m)=1$ muss $d'=1$ sein, also sind [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] teilerfremd.
Somit gilt:
[mm] $=\sum_{d_1|n,d_2| m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\cdot \frac{m}{d_2}\right)$
[/mm]
und weiter
[mm] $=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2| m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\cdot \frac{m}{d_2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)\sum_{d_2| m}f(d_2)g\left(\cdot \frac{m}{d_2}\right)$
[/mm]
[mm] $=(f\ast g)(n)\cdot (f\ast [/mm] g)(m)$
Wäre nett, wenn das jemand überprüfen könnte.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
> Hallo Gregor,
> noch schnell eine Antwort bevor ich los muss. ich denke,
> dass du es dir zu schwer machst. Warum wechselst du
> überhaupt auf die Prinzerlegung?
>
> Also konkret:
>
> m,n in [mm]\N.[/mm] Es gilt ggt(m,n) = 1 (denn nur für diese m,n
> musst du die Multiplikativität zeigen).
>
> Es gilt:
>
> [mm]\sum_{d|n\cdot m}f(d)g\left(\frac{n\cdot m}{d}\right)[/mm] =
> [mm]\sum_{d_{1}|n , d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left(\frac{n\cdot m}{d_{1}d_{2}}\right)[/mm]
>
> Wie verhalten sich denn die Teiler [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm]
> zueinander, wenn das ggt(m,n) = 1 ist?
>
> Hilft dir das was?
> Grüße, Steffen
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | anstei |
Sieht für mich korrekt aus. :)
|
|
|
|
