Multiplikationstabelle für Bas < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Im Ring [mm] \mathbb{R}[x] [/mm] ist die Menge J:= [mm] \mathbb{R}[x] \cdot (x^3+x) [/mm] ein Ideal und der Quotient [mm] R:=\mathbb{R}[x] [/mm] / J ist ein kommutativer Ring mit Eins. [mm] \mathbb{R} [/mm] und Jsind auch [mm] \mathbb{R} [/mm] - Vektorräume. Daher ist der Quotient R auch ein [mm] \mathbb{R} [/mm] - Vektorraum.
(a) Zeige: R hat aus [mm] \mathbb{R} [/mm] - Vektorraum die Dimension 3, und [1], [x], [mm] [x^2] [/mm] ist eine Basis. Geben Sie die Multiplikationstabelle für diese Basis an. Produkte von Basiselementen sollen natürlich als Linearkombinationen der Basiselemente geschrieben werden. |
Hallo liebe Freunde der Algebra,
irgendwie versteh ich das mit den Quotientenräumen nicht. Wie kann ich zeigen, dass R als [mm] \mathbb{R} [/mm] - VR diese Basis hat? Wenn man das gezeigt hat, ist die Dimension ja klar. Und wie kann man solche Elemente multiplizieren?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Sa 18.10.2008 | | Autor: | PeterB |
Wie oft bei Restklassenringen loht es sich hier ein explizites Repräsentanten System an zu geben. Hier sind die Polynome von Grad [mm] $\leq$ [/mm] 2 günstig. Zu einem gegebenen Polynom findet man den Vertreter durch "teilen mit Rest" (als den Rest der Polynom Division). Mit dieser Konstruktion sollten beide Fragen nur noch einfache Rechnungen sein.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 21.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo liebe Mathefreunde,
habe mich mal an die Multiplikationstabelle gewagt und habe folgende Ergebnisse:
[1] [mm] \circ [/mm] [1] = [1]
[1] [mm] \circ [/mm] [x] = [x]
[1] [mm] \circ [x^2] [/mm] = [mm] [x^2]
[/mm]
[x] [mm] \circ [/mm] [1] = [x]
[mm] [x^2] \circ [/mm] [1] = [mm] [x^2]
[/mm]
[x] [mm] \circ [/mm] [x] = [mm] [x^2]
[/mm]
[x] [mm] \circ [x^2] [/mm] = [mm] [x^3]=[1]
[/mm]
[mm] [x^2] \circ [x^2] [/mm] = [mm] [x^4]=[x]
[/mm]
Stimmt das so in etwa? Oder hab ich da noch etwas falsch verstanden?
Wie genau soll man aber zeigen dass R die Dimension 3 hat? Klar ist es mir, aber wie zeige ich das mathematisch?
Vielen Dank für jegliche Tips und Erklärungen schon mal im Voraus!!!
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mi 22.10.2008 | | Autor: | PeterB |
> [1] [mm]\circ[/mm] [1] = [1]
> [1] [mm]\circ[/mm] [x] = [x]
> [1] [mm]\circ [x^2][/mm] = [mm][x^2][/mm]
>
> [x] [mm]\circ[/mm] [1] = [x]
> [mm][x^2] \circ[/mm] [1] = [mm][x^2][/mm]
Soweit so gut, allerdings ist 1 und damit auch [1] das neutrale Element der Multiplikation, dass sollte also nicht überraschen.
>
> [x] [mm]\circ[/mm] [x] = [mm][x^2][/mm]
Auch hier gibt es keine Probleme.
> [x] [mm]\circ [x^2][/mm] = [mm][x^3]=[1][/mm]
> [mm][x^2] \circ [x^2][/mm] = [mm][x^4]=[x][/mm]
>
Hier musst du nun zum ersten Mal deine kanonischen Repräsentanten in den Äquivalenzklassen [mm] $[x^3]$ [/mm] und [mm] $[x^4]$ [/mm] finden. Das geht leider schief. Was du tun sollst ist ein Polynom vom Grad [mm] $\leq [/mm] 2$ zu finden, dass äquivalent zu den gegebenen Elementen ist. Was heißt nun äquivalent? Per Definition, dass die Differenz in dem Ideal ist, dass du herausteilst. (Hier: Die Differenz wird von [mm] $(x^3-x)$ [/mm] geteilt.) Praktisch machst du das mit "Teilen mit Rest": Die Konstruktion der Polynomdivision zeigt dir nun, dass es polynome $p$ und $r$ gibt, so dass:
[mm] $x^3=p(x^3-x)+r$ [/mm]
mit Grad [mm] $r\leq [/mm] 2$. Und analog für [mm] $x^4$. [/mm] Damit folgt [mm] $[x^3]=[r]$ [/mm] und $[r]$ kannst du einfach in deiner Basis darstellen.
Bsp: [mm] $x^3=1\cdot(x^3-x)+x$ [/mm] d.h. [mm] $[x^2][x]=[x^3]=[x]$.
[/mm]
Ich glaube damit bekommst du das auch für die fehlende Multiplikation hin
Bemerkung: Da dein Ring als Faktorring eines kommutativen Ringes kommutativ ist, kannst du dir die Hälfte der Arbeit sparen.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 22.10.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Peter,
vielen Dank für deine Erklärung!
Also erhalte ich für
[mm] [x^2][x]= [/mm] - [x] und für [mm] [x^2][x^2]=[-x^2]
[/mm]
Yeahi, ich habs gecheckt!
Lg kittycat
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