Multiplikation zweier Summen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 09.08.2005 | | Autor: | el_dany |
Leider habe ich keine Ahnung, wie man zwei Summen miteinander multipliziert.
ich habe vor für meine facharbeit die eigenschaften der e-Funktion anhand der Reihendarstellun [mm] (x^n)/(n!) [/mm] zu beweisen, gereade bin ich bei [mm] e^n [/mm] * [mm] e^m, [/mm] sollte e^(m+n) ergeben, wie aber bekomme ich das mit Summen hin?
[mm] \summe_{i=1}^{n} x^n/(n!) [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}x^m/(m!)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 09.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_dany,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da ist aber einiges durcheinander geraten mit Deinen Reihendarstellung für die e-Funktion ...
Es gilt doch: [mm] $e^x [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Und damit auch: [mm] $e^{\red{m}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\red{m}^k}{k!}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo!
> Leider habe ich keine Ahnung, wie man zwei Summen
> miteinander multipliziert.
> ich habe vor für meine facharbeit die eigenschaften der
> e-Funktion anhand der Reihendarstellun [mm](x^n)/(n!)[/mm] zu
> beweisen, gereade bin ich bei [mm]e^n[/mm] * [mm]e^m,[/mm] sollte e^(m+n)
> ergeben, wie aber bekomme ich das mit Summen hin?
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^n/(n!)[/mm] * [mm]\summe_{i=1}^{n}x^m/(m!)[/mm]
Also, die Verbesserung von Loddar ist schon mal wichtig. 
Ich zitiere mal ein wenig aus meinem schlauen Analysis-Buch:
Cauchy-Produkt von Reihen:
Es seien [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] absolut konvergente Reihen. Für [mm] n\in\IN [/mm] setzen wir [mm] c_n:=\summe_{k=0}^{n}a_{n-k}b_k. [/mm] Dann ist auch die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] absolut konvergent und es gilt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n=(\summe_{n=0}^{\infty}a_n)(\summe_{n=0}^{\infty}b_n).
[/mm]
Wahrscheinlich wirst du mit einigen dieser Begriffe nichts anfangen können, aber ich denke, dass alleine diese Schreibweise wichtig ist, im Prinzip steht hier ja, wie du die beiden "Summen" multiplizierst.
So, und mit diesem schönen Satz von gerade, kann man dann deine Behauptung auch beweisen (steht sogar auch in meinem schlauen Buch drin  ):
Also, zu zeigen ist:
[mm] \forall x,y,\in\IR [/mm] gilt exp(x+y)=exp(x)*exp(y).
Schreiben wir also [mm] exp(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] und [mm] exp(y)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^n}{n!}
[/mm]
Dann ist nach dem Satz von oben:
[mm] c_n:=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{n-k}}{(n-k)!}*\bruch{y^k}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!}\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k [/mm]
Nach dem Binomischen Lehrsatz, den du z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst, gilt dann folgendes:
[mm] \bruch{1}{n!}\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!}(x+y)^n.
[/mm]
Also ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}(x+y)^n [/mm] = exp(x)*exp(y) - und damit sind wir fertig.
Ich schätze, dass das für dich als Schüler beim ersten Lesen recht schwierig zu verstehen ist. Vielleicht liest du es dir mehrmals durch, und versuchst es nachzuvollziehen. Was dann noch unklar ist, darfst du dann gerne nachfragen.
Viele Grüße und viel Erfolg noch bei deiner Facharbeit.
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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