Multiplikation injektiv < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN [/mm] und sei [mm] m\in \IZ. [/mm]
[mm] f_{m}^{n}: \IZ/n\IZ \to \IZ/n\IZ
[/mm]
[mm] a+n\IZ \mapsto m*a+n\IZ
[/mm]
a) Zeige, dass die vorliegende Abbildung für m=2 und n=3 injektiv ist.
b) Finde [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] 0\not=m\not=n, [/mm] sodass die Abbildung nicht injektiv ist.
c) Zeige: Sei n prim und [mm] m\notin n\IZ. [/mm] Dann ist die Abbildung injektiv.
d) Finde allgemeine Bedingungen für Injektivität. |
Heyho!
a) und b) sind ja nicht der Rede wert...
Aber wie zeige ich c)?
[mm] f_{m}^{n}(a+n\IZ)=f_{m}^{n}(b+n\IZ)
[/mm]
[mm] \gdw m*a\equiv [/mm] m*b mod n
[mm] \gdw \exists k\in \IZ: [/mm] m*b=m*a+k*n
Wo kann man da die Voraussetzungen verwenden?
Und wie ist das bei d)? Raten würd ich ja: [mm] m\not=0 [/mm] und ggT(m,n)=1
(Scheint zumindest für einige Beispiele hinzuhauen)
Doch wie ich das beweisen sollte, weiß ich nun nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 03.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n\in \IN[/mm] und sei [mm]m\in \IZ.[/mm]
>
> [mm]f_{m}^{n}: \IZ/n\IZ \to \IZ/n\IZ[/mm]
> [mm]a+n\IZ \mapsto m*a+n\IZ[/mm]
>
> a) Zeige, dass die vorliegende Abbildung für m=2 und n=3
> injektiv ist.
> b) Finde [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]0\not=m\not=n,[/mm] sodass die Abbildung
> nicht injektiv ist.
> c) Zeige: Sei n prim und [mm]m\notin n\IZ.[/mm] Dann ist die
> Abbildung injektiv.
> d) Finde allgemeine Bedingungen für Injektivität.
> Heyho!
>
> a) und b) sind ja nicht der Rede wert...
Schoen :)
> Aber wie zeige ich c)?
> [mm]f_{m}^{n}(a+n\IZ)=f_{m}^{n}(b+n\IZ)[/mm]
> [mm]\gdw m*a\equiv[/mm] m*b mod n
> [mm]\gdw \exists k\in \IZ:[/mm] m*b=m*a+k*n
Wenn zwei Zahlen $x$ und $y$ teilerfremd sind, dann gibt es $x', y' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $x x' + y y' = 1$ (so eine Gleichung nennt sich Bezout-Gleichung). Das ist uebrigens aequivalent dazu, dass $x'$ das Inverse von $x$ modulo $y$ ist: es gilt $x x' [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{y}$.
[/mm]
Bei dieser Aufgabe hilft dir eine Bezout-Gleichung fuer $m$ und $n$ weiter (beachte, dass sie teilerfremd sind).
> Wo kann man da die Voraussetzungen verwenden?
>
> Und wie ist das bei d)? Raten würd ich ja: [mm]m\not=0[/mm] und
> ggT(m,n)=1
Aus $ggT(m, n) = 1$ folt schon $m [mm] \neq [/mm] 0$. (Ausser fuer $n = 1$, aber dann darf $m$ auch 0 sein.)
> (Scheint zumindest für einige Beispiele hinzuhauen)
> Doch wie ich das beweisen sollte, weiß ich nun nicht.
Genauso wie bei b), mit Hilfe einer Bezout-Gleichung :)
LG Felix
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