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| Aufgabe | Bearbeiten Sie die folgenden Multiple Choice Fragen gründlich und raten Sie
nicht einfach nur. Es kommt auch auf Details der Formulierung an. Richtige Antworten werden mit einem Punkt, falsche Antworten mit einem Minuspunkt bewertet.
1. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist:
a) Jede beschränkte Teilmenge von $ [mm] \IN [/mm] $ hat ein Infimum in $ [mm] \IR. [/mm] $
b) Jede beschränkte Teilmenge von $ [mm] \IQ [/mm] $ hat ein Supremum in $ [mm] \IR. [/mm] $
c) Jede nichtleere beschränkte Teilmenge von $ [mm] \IQ [/mm] $ hat ein Supremum, und dieses Supremum liegt in $ [mm] \IQ. [/mm] $
2. Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
a) Für alle x $ [mm] \in \IR\setminus{1} [/mm] $ und n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x}. [/mm] $
b) Für alle n,k $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit k < n gilt $ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}. [/mm] $
3. Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Elemente der gegebenen Menge.
a) $ [mm] \{1;2;3\}\setminus\{{2;3}\} [/mm] $
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
b) $ [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\} [/mm] $
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ?
c) $ [mm] \{1;2\}\setminus\{2;4\} [/mm] $
0 / 1 / 2 / 3 / 4 ? |
Hallo,
Ich stelle diese Frage schon das zweite Mal bei matheraum.de ein, weil ich noch keine Antwort bekommen habe und sie schon heute abend bräuchte. Außerdem habe ich die Frage ins Forum der Schulmathematik eingestellt, obwohl sie dahin nicht gehört. Ich hoffe jemanden aufmerksam zu machen.
Erstmal ein paar Begriffe aus meinem Skript, die wir brauchen werden:
Untere Schranke: Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke einer Menge A $ [mm] \subset \IR, [/mm] $ wenn für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ A gilt: x $ [mm] \ge [/mm] $ b.
Infimum: Sei A $ [mm] \subset \IR [/mm] $ eine nach unten beschränkte Menge. Eine reelle Zahl a heißt größte untere Schranke oder Infimum von A, wenn für jede untere Schranke b gilt: a $ [mm] \ge [/mm] $ b.
Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke.
Bei mir im Skript steht noch darunter: In der Tat ist das Vollständigkeitsaxiom in $ [mm] \IQ [/mm] $ nicht erfüllt.
Ich muss hier besonders aufpassen, da man für jede falsche Antwort ein Minuspunkt bekommt. Nach einiger Überlegungen habe ich folgendes:
zu 1:
a) Wahr. Sei N eine nach unten (und nach oben) beschränkte Teilmenge von $ [mm] \IN [/mm] $ mit der unteren Schranke b $ [mm] \in \IR. [/mm] $ Man findet immer ein a $ [mm] \in \IR [/mm] $ mit a $ [mm] \ge [/mm] $ b für jede untere Schranke b. a ist hier das Infinimum.
b) Falsch, weil die Vollständigkeitsaxiom in $ [mm] \IQ [/mm] $ nicht gilt.
c) Falsch, weil hier ebenfalls wie in b die Vollständigkeitsaxiom in $ [mm] \IQ [/mm] $ nicht gilt. Schon das erste Teil der Aufgabenstellung ist falsch. Die gesamte Aussage ist also auch falsch.
Kann es sein, dass das Wort "nichtleere" hier eine Besondere Rolle spielt? In b gib es dieses Wort nämlich nicht, in c wohl.
2.
a) Wahr. Ich habe schon die geometrische Summenformel bewiesen: für alle x $ [mm] \in \IR\setminus{1} [/mm] $ und n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt $ [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}. [/mm] $
Nun in der Aufgabenstellung haben wir ein Aussage, wo auf beiden Seiten n um eins verkleinert ist (n-1 als obere Grenze der Summe und n als Potenz), deshalb sollte die Aussage in der Aufgabenstellung wahr sein.
b) Falsch, weil bei mir die folgende Aussage schon bewiesen ist:
Für alle n,k $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit k < n gilt $ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{n+1 \\ k}. [/mm] $ Somit kann also die Aussage in der Aufgabenstellung nicht gelten.
3.
a) Antwort: 3. Die Menge links hat drei Elemente. Da kommt noch der Abzug des Elementes $ [mm] \{2;3\} [/mm] $ (und nicht der Elemente 2 und 3). Wir haben also die Menge $ [mm] \{1;2;3\} [/mm] $ mit 3 Elementen.
b) Antwort: entweder 3 oder 4. Hier bin ich unsicher. Wir haben auf jeden Fall 3 Elemente $ [mm] \{\emptyset\}, \{2\} [/mm] $ und $ [mm] \{2;\{2\}\}. [/mm] $ Bloß weiß ich nicht, ob die inneren Elemente von $ [mm] \{2; \{2\}\} [/mm] $ 2 und $ [mm] \{2\} [/mm] $ auch als Elemente der gesamten Menge betrachtet werden müssen. Wenn ja, dann haben wir 4 Elemente $ [mm] (\{2\} [/mm] $ haben wir schon, 2 kommt noch hinzu). Das sieht aber sehr komisch aus, wenn wir die 2 einfach dazu schreiben: $ [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}\} [/mm] $ = $ [mm] \{\{\emptyset\};\{2\};\{2;\{2\}\}; 2\}. [/mm] $ Das geht doch nicht, oder? Wenn das nicht geht, dann haben wir 3 Elemente.
c) Antwort: 1. Das hier ist nicht besonders schwer. $ [mm] \{1, 2\} [/mm] $ hat keine 4 als Element und da wird noch die 2 abgezogen. Also bleibt die Menge nur mit dem Element 1: $ [mm] \{1\}. [/mm] $
Die 2. und die 3. Aufgaben verstehe ich viel besser als die 1. Die ganzen Sachen mit Mengen, Beschränktheit, Supremas und Infinimas habe ich noch nicht so gut kapiert, dass ich zu 100% sicher wäre, dass alle meine Antworten richtig sind.
Jede Hilfe ist sehr begehrt. Danke.
Viele liebe Grüße aus Aachen
Tevulytis
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Im Prinzip hast du alles richtig gemacht bis auf
1 b) ist richtig: Weil Q nicht abgeschlossen ist, liegt das Supremum in R (und eben nicht in Q). Beispiel:1/1,4/1,41/1,414/... ist eine Folge in Q die sich immer mehr von unten gegen Wurzel 2 nähert. Das Supremum ist also Wurzel 2 aus R.
2 b) ist richtig, du vertust dich. Nimm z.B. n=2 und k=0.
3 a) Natürlich werden 2 Elemente abgezogen, Lösung ist 1
3 b) Deine Überlegungen sind richtig,Lösung =3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Tevulytis |
Hallo,
Ich bedanke mich von Herzen für die Hilfe.
Eine Bemerkung zu 2b: k darf nicht 0 sein, weil n, k aus [mm] \IN [/mm] sind. Die Aussage sollte aber trotzdem, wie Sie gesagt haben, stimmen, weil für andere Zahlen, z.B. n = 4 und k = 1 oder n = 8 und k = 2, sie stimmt.
Liebe Grüße
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