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Hallo zusammen
Ich habe die folgende Aufgabe:
"Schlagen Sie vor, wie man die folgenden Probleme vereinfachen kann:
max [mm] Ax_1^{a_1}....x_n^{a_n} [/mm] für [mm] x_1+x_2+...+x_n=1
[/mm]
Nehmen Sie hier an, dass A>0 und [mm] x_1>0,....,x_n>0 [/mm] sind.
Die Lösung lautet:
max [mm] lnA+a_1lnx_1+....+a_nlnx_n [/mm] für [mm] x_1+....+x_n=1
[/mm]
Doch ich verstehe nicht ganz die Aufgabenstellung überhaupt soll? Was soll ich wofür vereinfachen?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Do 07.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
da [mm] \math{A>0,x_1,x_2,...,x_n>0} [/mm] und wegen der Monotonie des Logarithmus besitzen
[mm] Ax_1^{a_1}....x_n^{a_n}=A*\produkt_{i=1}^{n}x_i^{a_i}
[/mm]
und
[mm] ln(A*\produkt_{i=1}^{n}x_i^{a_i})=ln(A)+\summe_{i=1}^{n}ln(x_i^{a_i})=ln(A)+\summe_{i=1}^{n}{a_i}*ln(x_i)
[/mm]
das Maximum an derselben Stelle [mm] x^{\*T}=(x_1,x_2,...,x_n). [/mm] Die Werte der beiden Zielfunktionen
[mm] max{A*\produkt_{i=1}^{n}x_i^{a_i}} [/mm] und [mm] max{(ln(A)+\summe_{i=1}^{n}ln(x_i^{a_i}))} [/mm] stimmen jedoch nicht überein.
Gruß
barsch
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