Münzwurf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:31 Mo 24.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
| Aufgabe | Ich werfe eine faire Münze. Ich erhalte 4€, wenn Zahl geworfen wird, und erhalte sonst 0€.
(i) Sei n∈N ,n > 0 und [mm] G_{n} [/mm] mein Gewinn, wenn ich n-mal die Münze geworfen haben. Bestimme den Erwartungswert und die Varianz von [mm] G_{n}.
[/mm]
(ii) Sei n = 100. Schätze mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes folgende Wahrscheinlichkeiten ab:
(a) P(210 [mm] \le G_{100} \le [/mm] 230),
(b) [mm] P(G_{100} \le [/mm] 230).
Hinweis: folgende Werte können in den Rechnungen verwendet werden: Φ(− [mm] \bruch{1}{2} [/mm] )≈0,3085 und Φ(− [mm] \bruch{3}{2} [/mm] )≈0,0668. |
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur 2 Ausgänge möglich sind, nämlich "Zahl" und "Kopf". Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist =0,5, genau wie für "Zahl".
Bei (i) fehlt mir allerdings die Zahl, wie oft geworfen wird, um die Aufgabe zu lösen. Wie muss ich vorgehen, da die Angabe ja nicht vorhanden ist.
(ii) Bei 100 Würfen erwarte ich einen Gewinn von 200€. Das heißt im Schnitt pro Wurf einen Gewinn von 2€. Die Varianz müsste bei 1€ liegen. Wie muss ich weiter vorgehen? Ich kenne folgende Formel um den Wert von [mm] \Phi [/mm] zu berechnen: [mm] \bruch{a-n-E(X)}{\wurzel{Streuung}-\wurzel{n}}
[/mm]
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> Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur 2
> Ausgänge möglich sind, nämlich "Zahl" und "Kopf". Die
> Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist =0,5, genau wie für
> "Zahl".
> Bei (i) fehlt mir allerdings die Zahl, wie oft geworfen
> wird, um die Aufgabe zu lösen. Wie muss ich vorgehen, da
> die Angabe ja nicht vorhanden ist.
Die Zahl heißt n. Wenn dir nicht klar ist, was das bedeutet, setze für n verschiedene Werte ein und überlege dir, wie du die Ergebnisse alle wieder allgemein durch n ausdrücken kannst.
>
> (ii) Bei 100 Würfen erwarte ich einen Gewinn von 200€.
> Das heißt im Schnitt pro Wurf einen Gewinn von 2€.
Hier hast du das eigentlich schon getan.
> Die Varianz müsste bei 1€ liegen.
Nein. Mache dir das an obigem Zahlenbeispiel klar.
> Wie muss ich weitervorgehen? Ich kenne folgende Formel um den Wert von [mm]\Phi[/mm] zu
> berechnen: [mm]\bruch{a-n-E(X)}{\wurzel{Streuung}-\wurzel{n}}[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 24.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Ist der Erwartungswert dann 2n? Ich mache ja pro Wurf im Schnitt einen Gewinn von 2€, wenn ich dies dann noch mit der Anzahl der Würfe multipliziere, habe ich den Gewinn für diese Anzahl, also den Gewinn, den ich bei bestimmter Anzahl von Würfen erwarten kann?
Die Varianz für eine Binomialverteilung ist doch n*p*(1-p)... Falls 2n aber richtig ist, macht das ja keinen Sinn, da ich ja 2*n*(1-2)= -2n für die Varianz herausbekommen würde?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 24.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ist der Erwartungswert dann 2n? Ich mache ja pro Wurf im
> Schnitt einen Gewinn von 2€, wenn ich dies dann noch mit
> der Anzahl der Würfe multipliziere, habe ich den Gewinn
> für diese Anzahl, also den Gewinn, den ich bei bestimmter
> Anzahl von Würfen erwarten kann?
So ist es.
> Die Varianz für eine Binomialverteilung ist doch
> n*p*(1-p)... Falls 2n aber richtig ist, macht das ja keinen
> Sinn, da ich ja 2*n*(1-2)= -2n für die Varianz
> herausbekommen würde?
Der Ansatz über [mm] $n\cdot p\cdot(1-p)$ [/mm] ist korrekt, überdenke aber nochmal deine Werte, die du eingesezt hast, vor allem dein p, denn dabei scheinst du einen fatalen Fehler gemacht zu haben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 24.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Naja, die wahrscheinlichkeit für "Zahl" ist [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Ist die Varianz dann: [mm] n*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*n [/mm] ?
Falls das richtig ist, sind das dann auch die Werte, mit denen ich bei (ii) arbeiten muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 24.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Naja, die wahrscheinlichkeit für "Zahl" ist [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Ist die Varianz dann: [mm]n*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}*n[/mm] ?
Das sieht besser aus. War auch nach der Standardabweichung gefragt?
>
> Falls das richtig ist, sind das dann auch die Werte, mit
> denen ich bei (ii) arbeiten muss?
Ja.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 24.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> > Naja, die wahrscheinlichkeit für "Zahl" ist [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> > Ist die Varianz dann: [mm]n*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{4}*n[/mm] ?
>
> Das sieht besser aus.
Achtung: [mm] $G_n$ [/mm] ist nicht binomialverteilt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 24.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Die Lösungen sind aber korrekt? Oder ist die Varianz immer noch falsch?
Standardanweichung ist nicht gesucht... Ist aber die Wurzel der Varianz? Also [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:47 Di 25.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stef99!
> Die Lösungen sind aber korrekt? Oder ist die Varianz immer
> noch falsch?
Letzteres.
Die Zufallsgröße [mm] $A_n$ [/mm] gebe die Anzahl an, bei wie vielen der n Würfe Zahl geworfen wurde.
[mm] $A_n$ [/mm] ist binomialverteilt (zu welchen Parametern?).
Es gilt [mm] $G_n=4*A_n$.
[/mm]
Du kannst somit die Varianz von [mm] $G_n$ [/mm] auf die von [mm] $A_n$ [/mm] zurückführen.
Alternativ könntest du auch direkt mit der Definition der Varianz von [mm] $G_n$ [/mm] arbeiten.
> Standardanweichung ist nicht gesucht... Ist aber die Wurzel
> der Varianz?
Ja.
> Also [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
Folgerichtig wäre eine Standardabweichung von [mm] $\wurzel{\frac14n}=\frac12\wurzel{n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 25.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Bei [mm] \bruch{1}{2}n [/mm] Würfen wurde Zahl geworfen? Ist die Varianz also auch 2n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 25.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Bei [mm]\bruch{1}{2}n[/mm] Würfen wurde Zahl geworfen?
Es kann bei diesem Zufallsexperiment unterschiedlich oft Zahl geworfen werden.
> Ist die
> Varianz also auch 2n?
Nein.
Ich habe zwei alternative Wege zur Bestimmung der Varianz vorgeschlagen:
1. Weg: Bestimme zunächst die Varianz von [mm] $A_n$ [/mm] (nachdem du dir überlegt hast, zu welchen Parametern [mm] $A_n$ [/mm] binomialverteilt ist).
Leite daraus anschließend mithilfe von Rechenregeln für Varianzen die Varianz von [mm] $G_n=4*A_n$ [/mm] her.
(Und mache dir [mm] $G_n=4*A_n$ [/mm] klar.)
2. Weg: Der Vorschlag, direkt die Definition der Varianz von [mm] $G_n$ [/mm] zu benutzen, war leider ein Griff ins Klo von mir. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Stattdessen kannst du wie folgt vorgehen:
Seien [mm] $G_{n,1},G_{n,2},\ldots,G_{n,n}$ [/mm] die Gewinne beim 1., 2., ... , n-ten Münzwurf.
Da die einzelnen Münzwürfe sich in der Realität nicht gegenseitig beeinflussen, können [mm] $G_{n,1},G_{n,2},\ldots,G_{n,n}$ [/mm] als stochastisch unabhängig angenommen werden.
Bestimme nun die Varianzen von [mm] $G_{n,1},G_{n,2},\ldots,G_{n,n}$ [/mm] mithilfe der Definition der Varianz.
Es gilt [mm] $G_n=G_{n,1}+G_{n,2}+\ldots+G_{n,n}$, [/mm] da der Gesamtgewinn die Summe der Gewinne der einzelnen Münzwürfe ist.
Wegen der stochastischen Unabhängigkeit von [mm] $G_{n,1},G_{n,2},\ldots,G_{n,n}$ [/mm] kannst du die Varianz von [mm] $G_n$ [/mm] somit auf die Varianzen von [mm] $G_{n,1},G_{n,2},\ldots,G_{n,n}$ [/mm] zurückführen.
Wenn du irgendwo nicht weiter kommst, schildere am besten, an welcher oder welchen dieser zahlreichen Einzelüberlegungen du nicht weiter kommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 25.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Also, ich würde deinen ersten Weg weiterverfolgen.
[mm] G_{n} [/mm] ist mein Gewinn, bei n Würfen.
[mm] A_{n} [/mm] ist -wie du geschrieben hattest- die Anzahl der Würfe, bei denen Zahl geworfen wurde.
4 steht für den Gewinn, den ich mache, wenn ich Zahl werfe.
[mm] A_{n} [/mm] ist binomialverteilt, dafür dass ich Zahl werfe oder eben nicht.
Der Erwartungswert von [mm] A_{n} [/mm] müsste dann doch die Anzahl der Würfe multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für Zahl sein. Also [mm] \bruch{1}{2}n.
[/mm]
Die Varianz hiervon berechnet man durch multiplizieren der Anzahl der Würfe mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich Zahl werfe und (1-Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich Zahl werfe). Also [mm] n*\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}n. [/mm]
Demnach müsste die Varianz für [mm] G_{n} [/mm] = [mm] 4*\bruch{1}{4}n [/mm] = n sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 25.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Also, ich würde deinen ersten Weg weiterverfolgen.
>
> [mm]G_{n}[/mm] ist mein Gewinn, bei n Würfen.
> [mm]A_{n}[/mm] ist -wie du geschrieben hattest- die Anzahl der
> Würfe, bei denen Zahl geworfen wurde.
> 4 steht für den Gewinn, den ich mache, wenn ich Zahl
> werfe.
Genau: Man erhält für jeden Wurf, in dem eine Zahl geworfen wurde, 4 Euro, also [mm] $A_n$ [/mm] oft 4 Euro, also insgesamt [mm] $4*A_n$ [/mm] Euro. Somit lautet der Gesamtgewinn (in Euro) [mm] $G_n=4*A_n$.
[/mm]
> [mm]A_{n}[/mm] ist binomialverteilt
Ja:
Wir können das einmalige Werfen der Münze als Bernoulli-Experiment mit Treffer(=Zahl)-Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auffassen.
Das $n$-malige Werfen der Münze können wir somit als Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auffassen.
Die Anzahl der Treffer(=Zahl-Würfe) [mm] $A_n$ [/mm] ist somit binomialverteilt zu den Paramtern n und [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
> , dafür dass ich Zahl werfe oder
> eben nicht.
Das verstehe ich leider nicht.
> Der Erwartungswert von [mm]A_{n}[/mm] müsste dann doch die Anzahl
> der Würfe multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für
> Zahl sein. Also [mm]\bruch{1}{2}n.[/mm]
Die Intuition stimmt.
Alternativ kannst du mit der bekannten Formel für den Erwartungswert einer Zufallsgröße, die binomialverteilt zu gewissen Parametern ist, arbeiten.
> Die Varianz hiervon
Du meinst die Varianz von [mm] $A_n$?
[/mm]
> berechnet man durch multiplizieren der
> Anzahl der Würfe mit der Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> ich Zahl werfe und (1-Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich
> Zahl werfe). Also [mm]n*\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}n.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das hast du sicherlich der bekannten Formel für die Varianz einer binomialverteilten Zufallsgröße entnommen.
> Demnach müsste die Varianz für [mm]G_{n}[/mm] = [mm]4*\bruch{1}{4}n[/mm] =
> n sein?
Nein.
Falls $X$ eine Zufallsgröße mit existierender Varianz ist und $a$ eine reelle Zahl ist, gilt die Rechenregel
$Var(aX)=a^2Var(X)$.
(Beachte das Quadrat!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 25.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Ganz schön kompliziert...
Also ist die Varianz von [mm] G_{n}: 4^2 [/mm] * [mm] Var(A_{n}) [/mm] = [mm] 16*\bruch{1}{4}n [/mm] = 4n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 25.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Also ist die Varianz von [mm]G_{n}: 4^2[/mm] * [mm]Var(A_{n})[/mm] =
> [mm]16*\bruch{1}{4}n[/mm] = 4n?
Schön!
> Ganz schön kompliziert...
Die Rechenregeln für Varianzen und deren Anwendung lassen sich aus meiner Sicht am ehesten erlernen.
Schwieriger finde ich den bei dieser Aufgabe wohl nötigen kreativen Prozess, die Zufallsgröße [mm] $G_n$ [/mm] durch andere Zufallsgrößen auszudrücken, deren Varianz einfacher zu bestimmen ist als die von [mm] $G_n$ [/mm] selbst.
Falls noch jemand eine einfachere Lösung sieht oder ihr eine einfachere (Muster-)Lösung erhalten solltet, würde ich mich über ein entsprechendes Posting hier freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 25.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Vielen Dank! :) Eine Musterlösung dazu werde ich leider nicht erhalten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:52 Di 25.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Wenn ich nichts übersehen habe, ist Teil (ii) noch ungeklärt.
Daher markiere ich gleich die Frage als nur teilweise beantwortet.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 26.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:51 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Die Zeit ist zwar schon abgelaufen, allerdings würde mich die Antwort für den zweiten Aufgabenteil immer noch interessieren.
Wenn ich meine errechneten Werte in die obige Formel einsetze (Wo es allerdings soweit ich weiß nur die Streeung sein muss und nicht die Wurzel der Streeung), erhalte ich:
[mm] \bruch{210-100-200}{20-10} [/mm] = 9 ... Aber ich hab ja gar keine Angabe für [mm] \Phi(9) [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:41 Mi 02.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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